18.1 Рисунок - Блок-схема метода Эйлера

Краевая задача.

Понятие решения краевой задачи.

Если при решении обыкновенных дифференциальных уравнений

задаются условия для двух значений независимой переменной (на концах рассматриваемого отрезка), то такие задачи называются краевыми.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

. (18.6)

Краевая задача состоит в отыскании решения уравнения (1) на отрезке [а,b], удовлетворяющего на концах отрезка условиям

; . (18.7)

Граничные условия могут быть заданы не только в частном виде (18.7), но и в общем:

,

. (18.8)

Методы решения краевых задач могут быть:

точные аналитические, приближенные и численные.

Решение краевой задачи методом конечной разности.

Метод является одной из разновидностей численного метода решения краевой задачи. Он предусматривает переход от решения краевой задачи для

дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.

Рассмотрим сущность данного метода решения на примере ОДУ второго порядка

, (18.9)

при заданных граничных условиях

; . (18.10)

Разобьем отрезок [0,1] на равных частей точками . Решение краевой задачи сведем к вычислению значений сеточной функции в узлах . Для этого запишем уравнение (18.9) для внутренних узлов:

, . (18.11)

Заменим производные конечно-разностными аппроксимациями:

, . (18.12)

Подставляя эти выражения (18.12) в уравнение (18.11) получаем систему разностных уравнений,

; , (18.13)

которая является системой алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции . Входящие в данную систему (при ) и (при ) берутся из граничных условий (18.10).