Обратный ход метода Гаусса.
Обратный ход
метода состоит в последовательном
вычислении неизвестных. Решая последнее,
уравнение находим единственное значение
.
Далее, используя это значение, находим
значение неизвестного
в предпоследнем уравнении. Последним
определяем значение неизвестного
в первом уравнении.
Обратный ход для решения системы (5.3) начинается с решения
.
Затем, используя
значения
,
определяем
из второго уравнения:
;
и из первого:
.
На этом заканчивается обратный ход метода Гаусса.
Аналогичным образом строится вычислительный алгоритм для линейной системы с произвольным числом уравнений.
Блок-схема решения методом Гаусса системы n линейных уравнений (Рис.5.1).
(Выносится на самостоятельную работу )
Левая часть
блок-схемы соответствует прямому ходу.
Здесь i-ый
номер, из которого исключается неизвестное
;
j-ый
номер столбца; К
– номер неизвестного, которое исключается
из оставшихся
уравнений (а также номер того уравнения,
с помощью которого исключается
).
Операция перестановки уравнений (т.е.
перестановки соответствующих
коэффициентов) служит для предотвращения
деления на нулевой элемент. Правая часть
блок-схемы описывает процесс обратного
хода. Здесь i-ый
номер неизвестного, которое определяется
из i-ого
уравнения;
номера уже найденных неизвестных.
Рисунок 5.1 – Блок – схема решения системы линейных уравнений методом
Гаусса
Лекция 6
Итерационные методы.
Метод Гаусса-Зейделя.
Этот метод является одним из самых распространенных итерационных методов, отличается простотой и легкостью программирования.
Рассмотрим этот метод на примере решения системы трех уравнений:
,
,
(6.1)
.
Предположим, что
диагональные элементы
отличны от нуля. Выразим неизвестные
соответственно из 1,2,3
уравнений
системы:
, (6.2)
,
(6.3)
.
(6.4)
Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных:
Подставляя эти значения в правую часть выражения (6.2) получаем новое (первое) приближение для :
.
(6.5)
Используя это
приближение для
и приближение
для
,
находим из (6.3) первое приближение для
:
.
(6.6)
И, наконец, используя
вычисленные значения
,
находим с помощью выражения (6.4) первое
приближение для
:
.
(6.7)
На этом заканчивается
первая итерация решения системы
(6.2-6.4). Используя теперь значения
можно таким же способом выполнить к
решению
и т.д. Приближение с номером К
можно представить в виде:
,
,
(6.8)
.
Итерационный
процесс выполняется до тех пор, пока
значения
не станут близкими к значениям
с заданной погрешностью.
Блок-схема метода итераций.
Как показано на рисунке 6.1, первоначально вводятся исходные данные, например коэффициенты уравнения и допустимое значение погрешности. Задаются также начальные приближения значений неизвестных. (Они вычисляются заранее, например, прямым методом). Затем организуется циклический вычислительный процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получаются новые значения неизвестных. При малом (с заданной допустимой погрешностью) изменении этих значений на двух последовательных итерациях процесс прекращается, и происходит вывод значений неизвестных, полученных на последней итерации.
В данной схеме не предусмотрен случай отсутствия сходимости. Для таких случаев, чтобы избежать большого числа вычислений, в алгоритм вводится счетчик итераций, который прекращает счет после достижения некоторого значения.
Рисунок 6.1- Блок-схема метода итераций
Блок-схема метода Гаусса-Зейделя.
(Выносится на самостоятельную работу студентов)
В качестве исходных
данных вводятся коэффициенты и правые
части уравнений системы, погрешность
ε, допустимое
число итераций М,
а также начальные приближения переменных
.
Начальные приближения можно не вводить
в программу, а полагать их равными
некоторым значениям, например нулю.
Обозначения: К
- порядковый
номер итерации;
- номер уравнения; а также переменного,
которое вычисляется в данном цикле;
- номер члена вида
в правой части соотношения (6.9):
,
.
(6.9)
δ – критерий окончания итерационного процесса.
<
ε.
(6.10)
Итерации прекращаются либо после выполнения условия (6.10), либо при К=М.
Уточнение решений.
(Выносится на самостоятельную работу )
Так как решения, получаемые прямыми методами, содержат погрешности, вызванные округлениями чисел, то для уменьшения погрешностей используются итерационные методы.
Рассмотрим уточнение решения с помощью итерационного метода на примере системы линейных уравнений (3.1).
Пусть с помощью
прямого метода вычислены приближенные
значения неизвестных
Подставляя это решение в левые части
системы (3.1), получаем некоторые значения
,
отличные от
:
,
,
(6.11)
………………………….
.
Введем обозначения:
-
погрешности значений неизвестных;
-
невязки, т.е.
,
,
.
(6.12)
Вычитая каждое уравнение системы (6.11) из соответствующего уравнения системы (3.1) и используя введенные обозначения (6.12) получаем:
,
,
(6.13)
………………………….
.
Решая эту систему, находим значение погрешностей , которые используем в качестве поправок к решению.
Следующие приближения имеют вид:
,
,
…,
.
Таким же образом
можно найти новые поправки к решению
следующие приближения переменных
и т.д. Процесс продолжается до тех пор,
пока все очередные значения погрешностей
(поправок)
не станут достаточно малыми.
Процесс уточнения решения представляет итерационный метод решения системы линейных уравнений. При этом для нахождения очередного приближения, т.е. на каждой итерации решаются системы уравнений вида (6.13) с одной и той же матрицей, являющейся матрицей исходной системы (3.1) при разных правых частях. Это позволяет строить упрощенные алгоритмы.