Блок-схема метода бисекций.
На рисунке 13.2 дана блок-схема итерационного метода бисекций. Нахождение корня уравнения . Здесь сужение отрезка производится путем замены границ а или b на текущее значение приближения корня с. При
Рисунок 13.2 – Блок-схема метода бисекций
этом значение
вычисляется один раз, чтобы узнать знак
функции на левой границе, и он в процессе
итераций не меняется. Если знак
и
совпадает, то левой границей становится
первое приближение
и дальше
.
Если не совпадает, то левая граница
остается а,
но правая принимает значение
и
.
Затем цикл вычисления повторяется.
Метод бисекций довольно медленный, т.к. требует большого числа вычислений, но всегда сходится, причем с заданной точностью.
Лекция 14
Метод хорд.
На рисунке 14.1
представлена графическая иллюстрация
этого метода. Пусть известен отрезок
[a,b],
на котором функция
меняет знак. Например
,
.
В данном методе процесс итераций состоит
в том, что в качестве приближения к корню
уравнения
принимаются значения
точек пересечения хорды с осью абсцисс.
Сначала находим уравнение хорды АВ:
(14.1)
Рисунок 14.1 - Иллюстрация метода хорд
Для точки пересечения
ее с осью абсцисс
получим уравнение
(14.2)
Далее сравнивая
знаки величин
и
для рассматриваемого случая, видим, что
корень находится в интервале [a,с
],
т.к.
,
.
Отрезок [с
,b]
отбрасываем.
Первая итерация
состоит в определении нового приближения
,
как точки пересечения хорды АВ
с
осью абсцисс. Итерационный процесс
повторяется до тех пор, пока значение
не станет меньше по модулю заданного
числа ε.
.
Этот метод всегда обеспечивает сходимость
и более быстрый, чем предыдущий.
Блок-схема метода хорд подобна методу бисекций. Отличие в том, что корень вычисляется по формуле (14.2) и вводится оператор вычисления значений функций на границах отрезков.
Метод Ньютона (метод касательных).
Его отличие от
предыдущего метода состоит в том, что
на каждой итерации вместо хорды проводится
касательная к кривой
при
,
и находится в точках пересечения
касательной с осью абсцисс. При этом не
обязательно задавать [а,b],
содержащий корень. Достаточно лишь
найти некоторое начальное приближение
корня
(рис. 14.2).
Рисунок 14.2 - Иллюстрация метода Ньютона
Уравнение
касательной, проведенной к кривой
в точке
с координатами
и
,
имеет вид:
.
(14.3)
Отсюда находим
следующее приближение корня
,
как абсциссу точки пересечения касательной
с осью
.
.
Аналогично могут
быть найдены и следующие приближения
как точки пересечения с осью абсцисс
касательных, проведенных в точках
и т.д. Формула для
приближения имеет вид:
.
(14.4)
При этом необходимо,
чтобы
.
Для окончания итерационного процесса
может быть использовано условие
,
или условие близости двух последовательных
приближений:
.
В этом методе объем вычислений в каждой итерации больше, т.к. надо вычислять производную функции, но скорость сходимости значительно возрастает по сравнению с другими методами.
Лекция 15
Методы оптимизации.
Основные понятия.
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. При решении инженерных задач методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, свойство сварочного соединения, твердость наплавки и т.п.
В процессе решения
задачи оптимизации обычно необходимо
найти оптимальные значения некоторых
параметров, определяющих данную задачу.
Их принято называть проектными
параметрами. Это могут быть линейные
размеры конструкции, масса, температура,
параметры режима сварки, наплавки и
т.д. Число n
проектных параметров
характеризует размерность и степень
сложности задачи оптимизации.
Выбор оптимального решения или сравнения двух решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (либо максимум).
Целевая функция может записываться в виде:
(15.1)
Примерами целевой функции могут быть прочность конструкции, соединения, мощность установки, объем выпуска продукции, прибыль и т.п.
Целевая функция может быть представлена в виде формулы или таблицы. Но во всех случаях она должна быть однозначной функцией проектных параметров.