Решение задачи Коши разностными методами.

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(17.8)

и принимающую при заданное значение

. (17.9)

Вводится последовательность точек и шаги . В каждой точке , называемой узлом, вместо значений функции вводятся числа , аппроксимирующие точное решение на данном множестве точек. Функцию , заданную в виде таблицы чисел называют сеточной.

Далее заменяем значение производной в уравнении (17.8) отношением

конечных разностей. Таким образом, переходим от дифференциальной задачи (17.8), (17.9) относительно функции к разностной задаче относительно сеточной функции :

, (17.10)

(17.11)

Здесь разностное уравнение записано в общем виде. Конкретное выражение его правой части зависит от способа аппроксимации. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (17.10).

Если в правой части уравнения (17.10) отсутствует , то это значит, что явно вычисляется по предыдущим значениям . Такая разностная схема называется явной. При этом получается - шаговый метод. При =1 метод называется одношаговый, при =2 – двухшаговый и т.д.

Если в правой части (17.10) имеется , то разностная схема называется неявной и решение уравнения усложняется.

Лекция 18

Решение задачи Коши методом Эйлера.

Это простейший численный метод решения задачи Коши. Он основан на разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов , в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и выше порядков. Это разложение имеет вид

, (18.1)

где - погрешность аппроксимации производной.

Заменяем значение функции в узлах значениями сеточной функции , а также, используя уравнение (17.8) получаем

(18.2)

Считая узлы сеточной функции равноотстоящими, т.е. , и пренебрегая членами , получаем из равенства (18.1)

, (18.3)

Полагая из (18.3 ) находим значение сеточной функции при :

(18.4)

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

,

……………… (18.5)

.

Построенный алгоритм вычисления называется методом Эйлера. В нем

значение сеточной функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . Такие формулы вычисления называются рекуррентными, а метод Эйлера называется одношаговым.

Блок-схема метода Эйлера.

Как показано на рисунке 18.1задаются начальные значения величина шага и количество расчетных точек . Решение получается в узлах . Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге.