Типы задач оптимизации.

Выделяют два типа задач оптимизации – безусловные и условные. Безусловная состоит в отыскании максимума или минимума целевой функции (1) от n переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве n-мерного пространства.

Условные задачи оптимизации или задачи с ограничениями – такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения-равенства выражают зависимость между проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов и т.п. Ограничения уменьшают область проектирования в соответствии с физической сущностью задачи. Аналогично могут вводиться ограничения-неравенства.

Одномерная оптимизация.

Одномерная задача оптимизации формулируется как поиск наименьшего или наибольшего значения целевой функции , заданной на множестве , и определение значения проектного параметра , при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Функция может достигать своего минимального или максимального значения либо на граничных точках отрезка [а,b], либо в точках минимума или максимума. Производная в экстремальных точках всегда обращается в нуль. Это необходимое условие экстремума. Следовательно, для определения наименьшего или наибольшего значения функции на отрезке [а,b] надо вычислить ее значения во всех критических точках и на границах отрезка, а затем сравнить полученные значения. Наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением. А значения параметра, при которых получено экстремальное значение функции, будет оптимальным.

Решение одномерных задач.

Численный метод поиска экстремальных значений функции рассмотрим на примере нахождения минимума функции на отрезке [а,b]. При этом предполагается, что целевая функция на данном отрезке имеет только один минимум, т.е. унимодальна.

Процесс решения задачи методом поиска состоит в последовательном сужении интервала изменения проектного параметра, называемого интервалом неопределенности. В начале процесса оптимизации его длина составляет . К концу она должна стать меньше заданного допустимого значения ε. Следовательно, оптимальное значение проектного параметра должно находиться в отрезке , при условии, что .

Наиболее простым способом сужения интервала неопределенности является деление его на некоторое число равных частей с последующим вычислением значений целевой функции в точках разбиения. Пусть n – число элементарных отрезков, - шаг разбиения. Вычислим значения целевой функции в узлах . Сравнивая полученные значения , находим среди них наименьшее .

Число можно приближенно принять за наименьшее значение целевой функции на отрезке [а,b].

Близость к минимуму зависит от числа точек и для непрерывной функции .

В данном варианте метода поиска, который называется метод перебора, основным недостатком является трудность выбора правильного числа n и погрешности ε. Кроме того, он занимает много времени.

Более экономичным является вариант поиска, использующий унимодальность целевой функции. Для увеличения точности числа не увеличивают число n. Вместо этого сужают интервал неопределенности до размера двух шагов , если не достигается заданная погрешность ε. Его снова разбивают на новое число отрезков и так далее, пока не достигается заданная погрешность.

Лекция 16

Многомерные задачи оптимизации.

В большинстве реальных задач оптимизации целевая функция зависит от нескольких проектных параметров. Такая задача называется многомерной. Многомерная оптимизация представляет собой поиск наименьшего или наибольшего значения целевой функции , заданной на множестве , и определение проектных параметров, при которых целевая функция принимает экстремальное значение.

Для решения подобной задачи в области проектирования , в которой ищется минимум целевой функции можно использовать дискретное множество точек (узлов). Интервалы изменения параметров разбиваются на части шагами . В полученных узлах вычисляется значение целевой функции, и среди них находим наименьшее. Такой метод поиска при многомерной оптимизации требует слишком большого объема вычислений.