4. Понятие и сущность линейного программирования. Геометрический метод решения задач линейного программирования.

Задача программиров. Заключ. В изучении способов отыскания наибольшего или наименьшего значения линейной ф-ции при наличии линейных ограничений. Ф-ция, наиб. или наим. значения которой отыскивается, назыв. целевой ф-ей, а совокупность значений переменных, при которых достигается наиб. или наим. значение, определяет так называемый оптимальный план. Всякая другая совокупность значений, удовлетворяющая ограничениям, определяет допустимый план. Пусть ограничения заданы системой m линейных неравенств с n переменными:

а ₁₁ x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n≥b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n≥b₂

…………………………………..

A_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≥b_m

Среди неотрицательных решений этой системы требуется найти такое решение, при котором линейная ф-ция (целевая ф-ция) L=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+c₀ принимает наиб. (наим.) значение или как говорят, максимизировать (минимизировать)линейную ф-цию L. Решается указанная задача геометрическим методом, для чего ограничимся рассмотрением системы линейных неравенств с 2-мя переменными. Пусть задана линейная ф-ция: L=c₁x₁+c₂x₂+c₀ Найдём среди множества точек (x₁;x₂) из области решений системы неравенств такие, которые придают заданной линейной ф-ции наим./наиб. значение. Для каждой точки плоскости ф-ция L принимает фиксированные значения L=L₁ множество всех таких точек есть прямая c₁x₁+c₂x₂+c₀=L₁ перпендикулярная вектору С (с₁;с₂), выходящему из начала координат. Если эту прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора С, то линейная ф-ция L=c₁x₁+c₂x₂+c₀ будет возрастать, а в противоположном направлении убывать. Пусть при движении прямой L в положительном направлении вектора С она впервые встречается с многоугольником решений в его вершине, тогда в этом положении L₁ прямая становится опорной, и на этой прямой ф-ция L принимает наим. значение. При дальнейшем движении в этом же направлении (положительном) прямая L пройдёт через другую вершину многоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорной прямой L₂; на ней ф-ция L принимает наиб. значение среди всех значений, принимаемых на многоугольнике решений. Т.о минимизация и максимизация линейной ф-ции L=c₁x₁+c₂x₂+c₀ на многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, перпендикулярными вектору С(с₁;с₂). Опорная прямая может иметь с многоугольником решений либо одну общую точку (вершину многоугольника), либо бесконечное множество точек (это множество есть сторона многоугольника).

5. Симплекс-метод. Линейное программирование.

Решение основной задачи линейного программирования геометрическим методом явл. наглядным в случае 2-х даже 3-х переменных. Для случая же большего числа переменных геометрический метод становится невозможным. Так называемый симплекс-метод принадлежит к числу аналитических методов решения основной задачи линейного программирования. Система ограничений в вычислительных методах обычно задаётся системой линейных уравнений.

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

a_mx₁+a_m2x₂+…+…a_mnx_n=b_m

и среди неотрицательных решений этой системы требуется найти такие, которые максимизировали бы линейную ф-цию L= c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+c₀

Выразим:

X₁,x₂,…,x_r(r≥m) через остальные переменные

X₁=a₁,_r+1x_r+1+…+a_1nx_n+b₁

X₂=a_2,r+1x_r+1+…+a_2nx_n+b₂

X_r=a_r,r+1x_r+1+…+a_rnx_n+b_r

Переменные (неизвестные) x₁,x₂,…,x_r называются базисными, а весь набор

Базисом, остальные переменные называются свободными. Система ограничений назыв. системой, приведённой к единичному базису. Подставляя в линейную формулу L вместо базисных переменных их выражения через свободные их системы 1, получим L=y₀+y_r+1x_r+1+…+y_nx_n Теперь пологая все свободные переменные =0, найдём значения базисных переменных : x₁=b₁,x₂=b₂,…,x_r=b_r т.о решение (b₁,b₂,…,b_r,0,…,0) системы явл. допустимым оно называется базисным. Для полученного базисного решения значения линейной формы будет L_б=y₀ Решение задачи при помощи симплекс метода распадается на ряд шагов, заключающихся в том что от базиса Б мы переходим к другому базису Б’ с таким расчётом, чтобы значение L_б уменьшалось или , по крайней мере не увеличивалось т.е L_б’≥L_б