Тема занятия: Метод транспортных издержек

Цель занятия : Ознакомить студентов с количественными методами управленческих решений, в частности, с транспортной задачей.

Из трех хозяйств необходимо перевезти следующее количество картофеля: из первого - 75 тонн, из второго – 75 тонн и из третьего - 50 тонн.

Принять картофель смогут четыре овощехранилища: первое - 60 тонн, второе - 60 тонн, третье - 40 тонн, четвертое - 40 тонн.

Стоимость перевозки 1 тонны картофеля на 1 км составляет 10 тыс. рублей (10 тыс. рублей за тонно-километр). Тогда с учетом расстояния стоимость перевозки 1 тонны картофеля по различным маршрутам будет следующая (таблица 1):

Таблица 1

Маршрут	Длина маршрута (км)	Стоимость перевозки 1 тонны (тыс.руб.)
1,1	8	80
1,2	12	120
1,3	15	150
1,4	5	50
2,1	6	60
2,2	7	70
2,3	9	90
2,4	12	120
3,1	12	120
3,2	5	50
3,3	11	110
3,4	10	100

Требуется найти оптимальный план перевозки картофеля в овощехранилища.

Приведенную исходную информацию для принятия оптимального решения оформим в виде таблицы 2.

Таблица 2

Хозяйства	Овощехранилища				Объёмы перевозок картофеля (т)
	1	2	3	4
1	80	120	150	50	75
2	60	70	90	120	75
3	120	50	110	110	50
Емкости овощехранилищ (т)	60	60	40	40

В правом верхнем углу каждой клетки проставлены тарифы(стоимости) перевозок по различным маршрутам. Так, по маршруту (1,1) тарифы перевозок составил 80 тыс. руб. За 1 тонну, а по маршруту (1,3) - 150 тыс. руб. и т.д.(см. таблицу 1). Итак, как же мы будем возить? По каким маршрутам? Очевидно, что по наиболее дешевым. Давайте занимать перевозками те маршруты, где тарифы поменьше. Здесь дешевле всего везти картофель из первого хозяйства к четвертому овощехранилищу - всего 50 тыс.(маршрут 1,4). Но более 40 тонн мы не перевезем, так как четвертое овощехранилище больше не примет. Поставим на этот маршрут 40 тонн, а на маршрут (3,2) - там тоже тариф 50 тыс. руб. - 50 тонн: больше третье овощехранилище больше не примет (получится таблица 3). Заодно подправим объемы перевозок и емкости овощехранилищ. В дальнейшем будем ставить перевозки на те маршруты, где поменьше тариф.

Таблица 3

Хозяйства	Овощехранилища					Объёмы перевозок картофеля (т)
	1	2		3	4
1	80	120		150	50	75	35
	40
2	60	70		90	120	75
3	120	50		110	100	50
	50
Емкости овощехранилищ (т)	60	60	10	40	40

Значит, дальше нужно поставить 60 тонн на маршрут (2,1) - там тариф 60 тыс. рублей, а 10 тонн на маршрут (2,2). Тогда мы получим таблицу 4.

Таблица 4

Хозяйства	Овощехранилища								Объёмы перевозок картофеля (т)
	1			2		3	4
1	80			120		150	50		75	35
	40
2	60			70		90	120		75	15	5
	60		10
3	120			50		110	110		50
	50
Емкости овощехранилищ (т)	60	60			10	40		40

Теперь осталось завезти картофель только в третье овощехранилище, и окончательный расчет наших перевозок будет представлен в таблице 5.

Подсчитаем, во сколько же это нам обойдется :

35 x 150 + 40 x 50 + 60 x 60 + 10 x 70 + 5 x 90 +50 x 50 = 14500 тыс. рублей.

Таблица 5

Хозяйства	Овощехранилища												Объёмы перевозок
	1			2					3			4	картофеля (т)
1	80			120					150			50	75	35
						35					40
2	60			70					90			120	75	15	5
	60	10					5
3	120			50					110			110	50
	50
Емкости овощехранилищ (т)	60		60		10			40		35		40

Итак, стоимость перевозок нам обойдется в солидную сумму - 14500 тыс. рублей. Мы рассуждали вполне здраво, но все-таки пришлось использовать самый дорогой маршрут (1,3) - 5250 тыс. рублей (35 x 150).

Давайте попытаемся улучшить план перевозок. Поставим тонну груза на маршрут (1,1), но для того, чтобы не нарушался баланс в первом столбце, снимем тонну с маршрута (2,1); а для баланса во второй сроке добавим тонну на маршрут (2,3) и снимем тонну с маршрута (1,3), сбалансировав таким образом третий столбец и первую строку. Представим это в новой таблице 6 (объем перевозок и емкости овощехранилищ нам не нужны).

Таблица 6

Хозяйства	Овощехранилища
	1		2		3			4
1		80	120				150	50
	35					40
2		60	70				90	120
	60 10 5
3	120 50 110 100
	50

Так, где мы добавили тонну, стоит знак плюс, а где убирали - минус. Давайте назовем набор клеток, в которых мы произвели изменения (они связаны пунктиром), циклом. Итак, что же нам это даст? Провоз одной тонны по маршруту (1,1) - 80 тыс. рублей. Эту сумму нужно прибавить, а 150 тыс. рублей - провоз тонны по маршруту (1,3) - наоборот, отнять, как и 60 тыс. рублей с маршрута (2,1). 90 тыс. рублей также придется прибавить за лишнюю тонну на маршруте (2,3). Итого, транспортные расходы изменятся на : 80 + 90 - 150 -60 = -40 тыс. рублей. Значит по маршруту (1,1) мы должны перевезти как можно больше тонн картофеля. Максимально же возможный объем перевозки по этому маршруту составит 35 тонн, так как емкость первого хранилища всего 60 тонн. Это позволит сэкономить 40 x 35 = 1400 тыс. рублей, и новый план перевозок будет таким, как в таблице 7. В клетках, которые не вошли в цикл, все осталось по-старому.

Таблица 7

Хозяйства	Овощехранилища
	1	2			3			4
1	80	120			150			50
	35						40
2	60	70			90			120
	25		10			40
3	120	50			110			100
	50

Давайте проверять другие пустые клетки. Может быть, отыщется другой маршрут, который тоже стоит использовать? Вот, например, начнем с клетки (1,2). Для нее расходы изменятся на : 120 + 60 - 70 - 80 = 30 тыс. рублей >0 (таблица 8). Следовательно, маршрут (1,2) использовать не стоит.

Проверив таким же образом другие маршруты, мы придем к выводу, что наиболее дешевый маршрут нами рассчитан и представлен в таблице 7.

Таблица 8

Хозяйства	Овощехранилища
	1	2	3	4
1	80	120	150	50
	35
2	60 70 90 120
	25 10 40
3	120 50 110 100

Немного теории

Что же позволило сэкономить на транспортных расходах 1400 тыс. руб.? Проанализируем последовательность наших расчетов. Сначала мы нашли допустимый план перевозок. Метод, которым мы воспользовались, называется методом минимального элемента, и понятно почему: в нем перевозки все время ставятся на маршруты с минимальными тарифами, а если будут два маршрута с одинаковым тарифом, то предпочтение, естественно, нужно отдать тому из них, для которого возможная перевозка больше.

Получив допустимый план, мы стали пытаться улучшить его распределительным методом. Это, пожалуй, самый простой, хотя и не самый быстрый способ улучшения плана перевозок. Но прежде, чем излагать этот метод в общем виде, сформулируем строго транспортную задачу линейного программирования.

Введем обозначения :

X- объемы перевозок, которые мы ищем;

i - номер строки(хозяйства);

j- номер столбца(овощехранилища);

X - перевозка из i -того хозяйства к j -тому овощехранилищу;

a - объем перевозки из i -того хозяйства;

b - емкость j -того хозяйства;

c - стоимость перевозки единицы продукции из i -того хозяйства к j - тому овощехранилищу;

n - количество овощехранилищ;

m - количество хозяйств;

Объемы перевозок по каждому из маршрутов могут быть представлены в виде таблицы:

X X X X

X X X X

X X X X

Нам необходимо найти эти числа, то есть параметры управления X , где i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4.

Первое условие задачи:

Второе условие задачи:

Третье условие, что объемы перевозок не могут быть отрицательными:

X 0; X 0; X 0; т.е. X 0,

где i =1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

Уравнение, которое мы должны решить, будет иметь следующий вид:

(80 X +120X +150X +50X +60 X +70X +90X +120X +120 X +50X +110X +100X ) min

В общем виде транспортная задача записывается следующим образом:

+...b ; X 0;

Z = X min

В таблице 9 представлена задача в общем виде.

Таблица 9

Хозяйства i	Овощехранилища				Объемы перевозок
	1	2	....	n
1	c11	c12	....	c1n	a1
2	c21	c22	....	c2n	а2
...	....	....	....	....	....
m					am
bn	b1	b2	....	bn

Таким образом, в задаче требуется отыскать такой допустимый план перевозок, для которого сумма стоимостей перевозок минимальна. Сформулированная задача - это частный случай задачи линейного программирования, так как “целевая функция” (2), выражающая транспортные расходы, и ограничения (1) линейны.

Итак, в чем же заключается сущность распределительного метода, с помощью которого мы нашли наиболее оптимальный план перевозок?

Сущность распределительного метода состоит в том, что для каждой свободной клетки находится цикл, в который входят, кроме нее, только заполненные клетки. Циклом называется последовательность клеток, в которых поворачивается “ладья” (она может двигаться лишь по строкам и столбцам таблицы), возвращаться в ту же клетку, из которой она вышла. При этом в каждой строке и в каждом столбце таблицы в цикл входят или две клетки, или ни одной, и, помимо исходной(следует еще раз подчеркнуть), в цикл включаются лишь заполненные клетки. С помощью этого цикла определяют, насколько изменятся транспортные расходы, если ввести в свободную клетку единицу груза. Эта величина K называется индексом свободной клетки(i,j). Если K <0, то в клетку вносится максимально возможная перевозка, а если K >0, то маршрут(i,j) использовать не стоит и проверяется следующая клетка. Процесс заканчивается, когда выясняется, что для всех свободных клеток K 0.

Математическая модель транспортной задачи линейного программирования широко применяется в управлении производством. Именно с помощью подобных моделей управляют перевозкой различных видов продукции, добиваясь значительного сокращения транспортных расходов.

Варианты для выполнения студентами индивидуальных заданий

Таблица10

Заводы	Объекты				Мощности
	1	2	3	4
1	2	6	2	3	50
2	5	2	1	7	100
3	4	5	7	8	50
Потребности	50	70	40	40

На строительство четырех объектов кирпич поступает с трех заводов. Требуется найти оптимальный план перевозок. (Требуемые количества в тыс. штук и тарифы в тыс. руб./тыс. штук представлены в таблице 10).