2.История развития методики начального обучения арифметике.

На пороге 18 века в России была открыта первая общеобразовательная школа – «школа математических и навигацких наук» (14 января 1701 года Петр 1 подписал указ об учреждении в Москве Математико-навигационной школы). В нее принимали подростков и юношей от 13 до 18 лет из различных сословий. После окончания школы они направлялись на военную, морскую и государственную службу. Так как далеко не все из них умели читать, считать и писать, то при школе были открыты два начальных класса. Но это была не столько начальная школа, сколько школа по обучению неграмотных. Поэтому не было необходимости приспосабливать курс арифметики к детскому возрасту.

22 февраля 1701 года учителем этой школы был назначен лучший в то время математик Москвы, которому поручили создать для школы учебник по математике и навигации. Это был Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739). 21 ноября 1701 года рукопись учебника была закончена, и в 1703 году «Арифметика сиречь наука числительная» Магницкого была напечатана.

Книга использовалась не только в учебных заведениях, но и для самообразования. Один из экземпляров «Арифметики» в 1725 году попал к юному М.В.Ломоносову, который хранил эту книгу до конца своих дней. Позже М.В.Ломоносов назвал «Арифметику» Магницкого и «Славянскую грамматику» (1643) Мелентия Смотрицкого «вратами учености».

«Арифметика» Магницкого оказалась наиболее известной из всех учебников математики в России. Наряду с подробным и систематическим изложением арифметики она содержала также сведения из алгебры, геометрии, тригонометрии, астрономии и навигации.

По книге Магницкого знакомились с действиями над многочленами, с правилами решения уравнений первой и второй степени; здесь впервые в России для вычислений использовались «арабские» цифры, впервые было изложено учение о десятичных дробях.

Объяснение арифметики начинается такой сентенцией: «Что есть арифметика? Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобоятное, многополейзнейшее, и многопохвальнейшее…».

В ней Магницкий рассуждает иногда в стихотворной форме, использует необычные названия: 0 – цифра, 1-10 – «персты», десятки, сотни – «суставы», промежуточные числа – «сочинения». В книге он дает таблицу чисел в пределах 10²⁴, которую оканчивает стихами: «Число есть бесконечно, умам не дотечно, и никто не знает конца, кроме всех Бога-творца».

Книга, хоть и была на высоте требований того времени, но носила сугубо догматический характер: сначала изучалась нумерация многозначных чисел, потом по порядку 4 арифметических действия. Ученики должны были наизусть заучивать нумерацию, действия, результаты решения примеров и задач без пояснений. Поэтому по арифметике учились 50 лет, и большая часть учащихся не только не усваивала арифметику, но и получала отвращение ко всей математике.

Для начальных школ, которые стали открываться позднее, последовательность и характер изложения материала, заимствованные у Магницкого, оказались малопригодными.

На пороге 19 века швейцарский педагог И.Г.Песталоцци (который считался основоположником методики арифметики в Западной Европе) задался целью устранить догматизм в школьном преподавании.

Он ухватился за высказывания Ж.Ж.Руссо и Я.А.Коменского, призывавших к развитию всех сил и способностей ребенка, к сознательному усвоению знаний. Он изменил традиционный порядок изучения арифметики, т.к. не мог начинать с нумерации 15-тизначных чисел и с механического заучивания «4-х правил». Он «установил основным началом преподавания — признание наглядности как единственного фундамента всех познаний». Выставив этот тезис, Песталоцци сделал его господствующим в своём методе. Он выделил в особый концентр первую сотню как подготовительную ступень к изучению многозначных чисел, чем значительно облегчил изучение арифметики.

Однако в упражнениях было мало средств к развитию умственных способностей; он не знакомил детей с десятичной системой счисления и вычислительными приемами, а учил выражать любое число первой сотни с помощью целых и дробных чисел.

О трудности этих «упражнений» можно судить по следующим примерам. Каждая из трёх таблиц — квадрат, разделённый на 100 клеток; единицы представлены в виде чёрточек: десять раз по одной, десять раз по две и т. д. Ученик, указывая чёрточки на таблице, должен говорить: «Один раз один, 2 раза один... до 10 раз десять». Дальше единицы обращаются в двойки, тройки... Идут также предложения: «17 раз по одному есть 8 раз по два и один раз половина двух» и пр. Обучение ведётся по таблицам без употребления цифр. Песталоцци требует, чтобы тысячи фраз произносились и заучивались учениками без всяких пропусков. Такого рода работа отнимала много времени и была бесполезна в практическом отношении.

Книллинг, немецкий педагог второй половины XIX века, разбирая систему Песталоцци, писал: «Упражнения по таблице единиц» относятся к самому чудовищному, странному, сумасбродному и удивительному, что когда-либо являлось в области методики обучения». К. Д. Ушинский во взглядах Песталоцци о развитии способностей и укреплении душевных сил учащихся видит практическую и сильную идею, но в системе обучения усматривает «наивную, детскую непрактичность гения».

Дальнейшее развитие способов преподавания арифметики пошло по двум путям.

Продолжатель теории Песталоцци Иосиф Шмид (1-я пол.19 века) предложил с помощью штрихов иллюстрировать каждое число первой сотни в отдельности.

На этой почве вырос метод немецкого методиста А.В. Грубе (1816—1884) – монографический – («описывающий число»). В 1873 г. книга Грубе «Руководство к счислению в элементарной школе» вышла на русском языке в переводе Г. Ф. Эвальда.

Автор рекомендовал изучать каждое число первой сотни в отдельности через разностное и кратное его сравнение с каждым из предыдущих чисел и тем самым добиваться знания наизусть состава любого двузначного числа из слагаемых и сомножителей. Составлялись таблицы, результаты заучивались наизусть, и дети должны были давать ответы при решении примеров и задач без вычислений, на основе знания состава числа. «Исходной точкой для обучения,— говорил Грубе,— должна быть сущность числа. Так как непосредственному созерцанию доступны все числа от единицы до сотни и все работы могут быть сведены к первой сотне, то каждое число в этом пределе должно предстать перед умом ученика со всеми своими составляющими частями; из всестороннего созерцания отдельных чисел должны сами собой произойти четыре действия. Каждое число должно быть сравниваемо и измеряемо предыдущими числами, что делается или посредством разностного отношения, или посредством кратного».

Грубе оставляет без внимания различение действий, понимание их смысла и умение вычислять, лишая обучение арифметике образовательного значения.

Во 2-ой половине 19 века в России вышла в свет книга В.А.Евтушевского «Методика арифметики», в основу которой был положен монографический метод. Евтушевский его немного упростил и предлагал подробно изучать состав чисел от 1 до 20, а далее брать числа только со многими множителями.

В. А. Евтушевский видоизменил метод Грубе - в этом его большая заслуга: «осязательное понимание чисел», скрупулёзное изучение их по схеме он ведёт лишь в пределе от 1 до 20; в пределе от 20 до 100 он более подробно останавливается на тех числах, которые содержат несколько простых множителей (24, 30, 32, 36 и т. д.), и, наконец, числа больше 100 рекомендует проходить по методу изучения действий.

В переработке Евтушевского метод Грубе закрыл на ряд лет доступ в школу собственно русского метода, основы которого были заложены Петром Семеновичем Гурьевым, которого считают творцом методики арифметики в России.

П.С.Гурьев основывался на идеях Адольфа Дистервега, который в своем «Руководстве» (1829) расположил материал по концентрам: первый десяток, второй десяток, первая сотня, многозначные числа. В пределах каждого концентра Дистервег рекомендовал изучать не состав чисел, а действия одно за другим. Так были заложены основы вычислительного метода: изучается счет и действия.

П.С.Гурьев сделал значительный шаг в этом направлении. Его «Руководство к преподаванию арифметики» состояло из 3-х разделов: «Первая степень» (действия над числами от 1 до 10), «Вторая степень» (от 1 до 100), «Третья степень» (над целыми числами вообще).

Материал разработан таким образом, чтобы довести до сознания детей идею науки в каждой части познания. Методику арифметики Гурьев рассматривает как науку, как «Знание, основанное на точных положительных началах». Строя методику преподавания, автор пытается установить путь формирования знаний.

• При изучении устной нумерации в пределах 10 он подводит к пониманию основной аксиомы счета: пересчитывать штрихи можно слева направо и справа налево;

• При изучении сложения знакомит с переместительностью этого действия;

• Работая над вычитанием, вводит «0» как результат этого действия при одинаковых компонентах;

• Чтобы подвести к трудным случаям вычитания, когда разность меньше вычитаемого, он сопоставляет на наглядности примеры 10-2=8 и 10-8=2, поясняя состав числа 10 из 8 и 2, подчеркивая связь между сложением и вычитанием;

• После изучения нумерации до 100 выделяет область чисел от 1 до 20 ради изучения сложения и вычитания на основе применения сочетательного закона: 8+4=8+(2+2)=(8+2)+2=10+2=12; 15-7=15-(5+2)=(15-5)-2=10-2=8;

• Подробно рассматриваются правила умножения, деления и др..

Т.обр., система П.С.Гурьева была основана на идеях активности мысли, слова, практических умениях, разнообразных повторениях. Его основной тезис «методика есть наука» получил права гражданства лишь в недавние годы. Его принципиальные положения — сознательность обучения, самодеятельность учащихся и жизненность материала — далеко опередили своё время.

Система Гурьева – первая удачная попытка подвести ученика к усвоению законов арифметических действий. К сожалению, современники не оценили по достоинству его «Руководство», тем более, что его методика не была подкреплена пособиями для учеников и не вошла в школьную практику.

Дело ограничивалось применением монографического метода. Ни сам Гурьев, ни противники монографического метода не сумели раскрыть его несостоятельность.

Дальнейшая разработка системы Гурьева осуществлялась В.А.Латышевым, А.И.Гольденбергом, К.П.Аржениковым и др. методистами, которые поставили начальное обучение на самобытный путь.