- •080100.62 По направлению Экономика
- •Понятие функции двух независимых переменных
- •2. Производные функции двух независимых переменных
- •2.1. Частные производные первого порядка
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •3. Полный дифференциал функции двух переменных
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Экстремум функции двух независимых переменных
- •5.1. Необходимое условие экстремума
- •5.2. Достаточные условия экстремума
- •6. Градиент и производная по направлению
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •9. Методы интегрирования
- •9.1. Непосредственное интегрирование
- •9.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •9.3. Метод интегрирования по частям
- •10. Интегрирование рациональных дробей
- •10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •10.3. Разложение правильной дроби
- •10.4. Нахождение коэффициентов
- •10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •11. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •14. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
Из чертежа видно, что
4 x пределы интегрирования
будут и
(рис. 7).
Рис. 7 .
(кв. ед.).
Пример 62. Вычислить длину одной арки циклоиды
(рис. 8).
Решение. Из соотношения видно, что значение соответствует ,
соответствует ,
. Так как уравнение линии
з адано в декартовых координатах
(вид в), то используем формулу (2в),
т абл.: , .
t=0 t= t=2
Рис. 8
.
Пример 63. Вычислить длину кардиоиды ,
соответствующую .
Решение. Уравнение кривой задано в полярных координатах, следовательно, при решении воспользуемся формулой (2д). Изменение задано, следовательно, выполнение чертежа необязательно.
(ед. длины).
Пример 64. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой и осью (рис. 9).
Решение. Парабола расположена ветвями вниз, вершина находится в точке , и ось пересекает в точках . Для решения воспользуемся формулой (3а), табл.
(куб. ед.).
y
1
1 x
Рис. 9
Пример 65. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы , отсеченной прямыми , вокруг оси (рис. 10).
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.
y
; ,
находим из уравнения гиперболы:
-3 3 x
Рис. 10 (куб. ед.).
Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак (двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с , через одно с убыванием. Например, (только нечетные множители).