![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •080100.62 По направлению Экономика
- •Понятие функции двух независимых переменных
- •2. Производные функции двух независимых переменных
- •2.1. Частные производные первого порядка
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •3. Полный дифференциал функции двух переменных
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Экстремум функции двух независимых переменных
- •5.1. Необходимое условие экстремума
- •5.2. Достаточные условия экстремума
- •6. Градиент и производная по направлению
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •9. Методы интегрирования
- •9.1. Непосредственное интегрирование
- •9.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •9.3. Метод интегрирования по частям
- •10. Интегрирование рациональных дробей
- •10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •10.3. Разложение правильной дроби
- •10.4. Нахождение коэффициентов
- •10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •11. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •14. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
5.1. Необходимое условие экстремума
Если
дифференцируемая функция
достигает экстремума в точке
,
то ее частные производные первого
порядка в этой точке равны нулю, т. е.
(7)
Точки, в которых частные производные обращаются в нуль, называются стационарными точками. Следует заметить, что не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Каждая их этих точек должна быть проверена на экстремум с помощью достаточных условий.
5.2. Достаточные условия экстремума
Пусть точка – стационарная точка функции .
Обозначим
;
;
.
(8)
Составим
выражение
.
Тогда, если:
1)
,
то функция имеет в точке
экстремум, а именно максимум при
(или
)
и минимум при
(или
);
2)
,
то в точке
экстремума нет;
3)
,
то требуются дальнейшие исследования.
Пример
8. Исследовать
на экстремум функцию
.
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
.
Приравняем
и
к нулю и решим полученную систему
уравнений:
.
Из
второго уравнения
,
.
Подставим
полученные уравнения в первое уравнение,
имеем для
.
Для
получаем
или
.
Получим
три точки, в которых может быть экстремум
,
,
.
Найдем
,
,
по формулам (8):
,
,
.
,
,
.
,
,
.
Тогда
– экстремума в точке
– нет,
– экстремум есть,
– экстремум есть.
Выясним,
какой экстремум в точках
и
.
Это определяется по знаку второй
производной по переменной
.
И так как в точке
,
в ней будет максимум, а в точке
,
то в ней – минимум.
6. Градиент и производная по направлению
Определение
10. Градиентом
функции
в точке
называется вектор, выходящий из точки
и имеющий своими координатами частные
производные функции
в этой точке:
.
(9)
Если
имеем функцию трех переменных
,
то
.
Чтобы
ввести понятие о производной по
направлению, рассмотрим функцию
в некоторой области, содержащей точку
и единичный вектор
любого направления.
Если функция дифференцируема в точке , тогда производная по направлению вычисляется по следующей формуле:
.
(10)
Производная по направлению характеризует
с
корость
изменения функции в точке
в
направлении вектора
.
Из векторной
алгебры
известно, что
и
есть
направляющие косинусы вектора ,
п
оэтому
если
,
то
Рис. 3
;
(11)
Пример
9. Найти
в точке
и производную в точке
в направлении вектора
,
если
.
Решение. Найдем частные производные функции и подсчитаем их значения в точке :
;
;
;
.
По
формуле (9)
.
Чтобы найти производную по направлению (10), найдем направляющие косинусы вектора , используя формулы (11):
,
.
Найдем производную по направлению:
,
,
.
7. Метод наименьших квадратов
Пусть в результате получена таблица значений функции для ряда значений независимой переменной :
-
…
…
Если
точки
,
,
,
… ,
примерно располагаются на одной прямой,
это означает, что зависимость между
и
близка к линейной:
.
Подберем неизвестные коэффициенты
и
так, чтобы в каком-то смысле она наилучшим
образом описывала рассматриваемый
процесс.
Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в следующем.
Рассмотрим
сумму квадратов разностей значений
,
даваемых экспериментом, и функции
в соответствующих точках, т. е.
.
Подбираем
параметры
и
так, чтобы эта сумма имела наименьшее
значение. Поскольку
и
– постоянные, то указанная сумма есть
функция параметров
и
:
.
Чтобы
найти значения параметров
и
,
воспользуемся необходимыми условиями
экстремума функции двух переменных:
найдем частные производные от
по переменным
и
и приравниваем их к нулю:
,
.
Параметры и найдем из этой системы. Для этого перепишем ее в следующем виде:
(12)
Для определения чисел и получили систему двух уравнений перовой степени. Можно доказать, что эта система всегда имеет единственное решение и что для найденных чисел и функция достигает минимума. Подставляя найденные значения и в уравнение , получим линейную функцию, наилучшим образом отражающую зависимость между величинами и , полученными из опыта.
Пример 10. Полученные из опыта значения функции при различных значениях независимой переменной приведены в таблице:
(13)
-
0
1
1,5
2,1
3
2,9
6,3
7,9
10
13,2
Методом
наименьших квадратов найти функцию
в виде
.
Решение. Для решения этой задачи составим таблицу.
-
1
0
2,9
0
0
2
1,0
6,3
1
6,3
3
1,5
7,9
2,25
11,85
4
2,1
10,0
4,41
21
5
3,0
13,2
9,0
39,6
∑
7,6
40,3
16,66
78,75
Воспользуемся
для нахождения параметров
и
системой (12), в которой
;
;
;
;
получим
.
Решим систему. Для этого выразим из второго уравнения:
Подставим в первое уравнение:
.
Отсюда
.
Итак,
,
,
и, следовательно, искомая функция имеет
вид:
.
(14)
П
равильность
вычислений легко проверить,
сделав чертеж.
На координатной плоскости строим точки 6,22
по результатам таблицы (13) и график
полученной прямой (14). В случае верного 2,86
решения точки будут расположены близко
к
прямой.
Рис. 6 – решение верно 1
Рис. 4