- •080100.62 По направлению Экономика
- •Понятие функции двух независимых переменных
- •2. Производные функции двух независимых переменных
- •2.1. Частные производные первого порядка
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •3. Полный дифференциал функции двух переменных
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Экстремум функции двух независимых переменных
- •5.1. Необходимое условие экстремума
- •5.2. Достаточные условия экстремума
- •6. Градиент и производная по направлению
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •9. Методы интегрирования
- •9.1. Непосредственное интегрирование
- •9.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •9.3. Метод интегрирования по частям
- •10. Интегрирование рациональных дробей
- •10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •10.3. Разложение правильной дроби
- •10.4. Нахождение коэффициентов
- •10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •11. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •14. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
8. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 11. Функция называется первообразной для , если
(15)
или
(16)
Пример 11. есть первообразная для , так как или .
Пример 12. есть первообразная для , так как или .
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное первообразная, которое отличаются друг друга на постоянное число.
Так в 11-м примере для первообразной будут, кроме , , , , и другие. Все они удовлетворяют условию (15) и (16). Вообще в общем виде можно записать первообразную в виде , где – произвольная постоянная. Действительно,
или
.
Определение 12. Общее выражение совокупности всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:
. (17)
При этом , где
– подынтегральное выражение,
– подынтегральная функция.
Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.
Итак, интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому каждой формуле дифференцирования (15) соответствуют формула интегрирования (17).
Пример 13.
,
где – const.
Ниже приведена таблица основных интегралов. Каждую формулу можно проверить дифференцированием.
Таблица основных интегралов
1. ( , – const, )
2. (для любого )
2.1. 2.2.
3.
4. ( , , )
5.
6.
7.
8.
9. 10. ( )
11. ( )
12.
13.
При интегрировании используются свойства интегралов.
Свойства интегралов
, в частности,
,
, где
Таблицу интегралов и свойства необходимо выучить наизусть.
9. Методы интегрирования
Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.
9.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также, используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 14. .
(Использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, ).
Правильность ответа проверяем дифференцированием:
.
Пример 15.
.
(Свойства 3, 4; табличные интегралы 2.2 и 3).
Пример 16.
.
(Свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).
9.2. Метод замены переменной (подстановки)
Для вычисления интеграла сделаем замену , где выбирается так, чтобы после преобразований данного интеграла и новой переменной , получился интеграл, который берется непосредственно.
Предварительно находим , тогда
. (18)
После нахождения первообразной необходимо вернуться к первоначальной переменной « ».
Пример 17.
.
Пример 18.
.
Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой:
, ; ;
, ; ;
, ; .
Пример 19.
,
т. к. .
Формулой (18) часто пользуются справа налево:
, . (19)
При этой замене надо помнить, что в составе подынтегрального выражения должен быть дифференциал функции .
Такой метод называется подведением под знак дифференциала
. (19’)
При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.
Таблица дифференциалов
1. , – const, ,
2.
3.
4. , , ,
5.
6.
7.
8.
9.
10. ,
11. ,
Пример 20. .
Решение. Согласно таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим , , , .
.
Пример 21. .
Решение. По таблице дифференциалов, 1, с. 7 , положим
, , , .
.
Пример 22. – можно найти двумя способами:
1 способ.
;
2 способ. .
Пример 23. .
1 способ.
;
2 способ.
.
Пример 24.
. (табл. интегр., 3, ).