- •080100.62 По направлению Экономика
- •Понятие функции двух независимых переменных
- •2. Производные функции двух независимых переменных
- •2.1. Частные производные первого порядка
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •3. Полный дифференциал функции двух переменных
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Экстремум функции двух независимых переменных
- •5.1. Необходимое условие экстремума
- •5.2. Достаточные условия экстремума
- •6. Градиент и производная по направлению
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •9. Методы интегрирования
- •9.1. Непосредственное интегрирование
- •9.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •9.3. Метод интегрирования по частям
- •10. Интегрирование рациональных дробей
- •10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •10.3. Разложение правильной дроби
- •10.4. Нахождение коэффициентов
- •10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •11. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •14. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
2.2. Частные производные высших порядков
Определение 6. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначаются частные производные 2-го порядка так:
; ;
; .
Частные производные и называются смешанными производными. Можно доказать, а на практике это легко проверить, что , если они непрерывны.
Пример 4. Дана функция . Найти все ее частные производные 2-го порядка и убедиться, что .
Решение. ; ;
;
;
;
.
Из последних двух равенств видно, что .
Пример 5. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение. Находим ;
.
Подставим найденные значения в левую часть уравнения:
.
Получаем тождество, следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
3. Полный дифференциал функции двух переменных
Пусть есть функция двух независимых переменных. Зафиксируем , а затем . Тогда по аналогии с дифференциалом первого порядка и называют частными дифференциалами, а выражение является полным дифференциалом функции двух переменных. Положив , получим, что , а, положив , получим . Формула для примет вид:
. (2)
Пример 6. Найти полный дифференциал функции
.
Решение. Используем формулу (2). Найдем , .
; .
Тогда .
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Определение 7. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через точку .
Определение 8. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости.
Если поверхность задана неявно, т. е. ее уравнение , тогда уравнение касательной плоскости в точке к поверхности имеет вид:
(3)
где , , – значения частных производных функций, вычисленных в точке , а , , – текущие координаты точки касательной плоскости.
Уравнение нормали к поверхности в точке записывается в виде:
(4)
Если уравнение поверхности задано явно, т. е. , то формулы (3) и (4) примут вид:
(5)
. (6)
Пример 7. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
Решение. Определим третью координату точки касания, подставив , в уравнение поверхности. Получим , откуда . Таким образом, точка касания имеет координаты .
Перепишем уравнение в виде и найдем частные производные:
; ; .
Подсчитаем их значения в точке :
; ; .
Применяя формулы (5) и (6), получим:
или .
Итак, – уравнение касательной плоскости,
– уравнение нормали.
Нуль в знаменателе означает, что направляющий вектор нормали, а значит и сама нормаль перпендикулярны оси .
5. Экстремум функции двух независимых переменных
Определение 9. Функция имеет в точке максимум (или минимум), равный , если в окрестности этой точки для всех точек , отличных от , выполняется неравенство
или .
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.