![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •080100.62 По направлению Экономика
- •Понятие функции двух независимых переменных
- •2. Производные функции двух независимых переменных
- •2.1. Частные производные первого порядка
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •3. Полный дифференциал функции двух переменных
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Экстремум функции двух независимых переменных
- •5.1. Необходимое условие экстремума
- •5.2. Достаточные условия экстремума
- •6. Градиент и производная по направлению
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •9. Методы интегрирования
- •9.1. Непосредственное интегрирование
- •9.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •9.3. Метод интегрирования по частям
- •10. Интегрирование рациональных дробей
- •10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •10.3. Разложение правильной дроби
- •10.4. Нахождение коэффициентов
- •10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •11. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •14. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
Если 1) и конечны;
2)
непрерывна на
и имеет первообразную
,
то определенный интеграл выражается
конечным числом и может быть вычислен
по формуле Ньютона-Лейбница:
.
(21)
Пример
51.
.
Интегралы
а)
; б)
; в)
относятся
к несобственным интегралам I-го
рода, т. к. для них не выполнено условие
(1), а именно: один из пределов интегрирования
(случая а) и б) ) или оба (случай в)) не
являются конечными, а условие (2) выполнено.
Вычисление таких интегралов можно
проводить по формуле (21), при этом
считается как предельное значение,
которое может быть конечным, бесконечным
или не иметь смысла.
Пример
52.
.
Пример
53.
.
Пример
54.
.
Если в результате вычислений получили конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся (примеры 52, 53), в противном случае интеграл расходится (пример 51).
Те
интегралы
,
для которых не выполняется условие (2),
а условие (1) выполнено, относятся к
несобственным интегралам II-го
рода.
имеет бесконечный разрыв в одной или
нескольких точках.
Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их сходимости или расходимости можно проводить по формуле Ньютона-Лейбница, определив точки бесконечного разрыва.
Пример
55.
;
;
эта функция имеет бесконечный разрыв
на
в точке
,
т. к.
.
,
интеграл сходится.
Пример
56.
;
имеет бесконечный разрыв на
в точке
,
т. к.
.
,
интеграл расходится.
Пример
57.
;
имеет бесконечный разрыв в точке
,
которая принадлежит
.
В этом случае данный интеграл разбиваем
на два интеграла точкой разрыва:
,
интеграл сходится.
14. Геометрические приложения определенного интеграла
При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.
В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.
Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.
Пример
58. Вычислить
площадь, ограниченную параболой
и прямыми
и
.
Решение.
Выполним чертеж. Графиком
является парабола, ветви которой
направлены вниз (знак “-“ перед
)
и приподняты на 2 единицы (рис. 5). Искомая
площадь симметрична относительно оси
,
следовательно, можно вычислить половину
площади и удвоить результат, т.е.
.
y
2
1
x
Рис. 5
Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :
,
согласно формуле (1г), табл. получим:
;
(кв. ед.).
Пример 59. Вычислить площадь, ограниченную линией
,
.
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в) табл.
.
Пример
60. Вычислить
площадь, ограниченную линией
.
Решение.
Так как
уравнение линии, ограничивающей искомую
площадь, задано в полярных координатах,
то необходимо воспользоваться формулой
(1д), табл. Пределы интегрирования не
заданы, поэтому необходимо сделать
чертеж (рис. 6). Линию
построим по точкам, давая
значения через равный промежуток,
например,
,
начиная от
до
.
Вычислим
искомой площади.
Рис. 6
(кв.
ед.).
Пример
61. Найти
длину дуги
,
отсеченную прямой
.
Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.
y Воспользуемся
формулой (2а),
табл.
.