7.5. Построение теоретического закона распределения по опытным данным

Основная задача анализа вариационных рядов – выявление подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных для данного явления факторов. При решении данной задачи можно выделить следующие этапы:

1. выдвижение гипотезы о законе распределения случайной величины;

2. построение теоретического закона распределения по эмпирическим (опытным) данным, расчет теоретических частот;

3. проверка гипотезы о законе распределения.

1 этап: выдвижение гипотезы о законе распределения случайной величины.

Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из:

а) теоретических предпосылок (к примеру, выполнение условий центральной предельной теоремы может свидетельствовать о нормальном законе распределения случайной величины);

б) опыта аналогичных предшествующих исследований;

в) анализа графического изображения эмпирического распределения.

2 этап: построение теоретического закона распределения по эмпирическим (опытным) данным, расчет теоретических частот.

При обработке статистических данных решается вопрос о том, как подобрать для исходного вариационного ряда теоретическую кривую распределения, которая выражала бы лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, обусловленные недостаточным объемом выборки. Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается подбор наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может быть задан либо функцией распределения F(x), либо плотностью распределения f(x). Параметры данных функций, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют наилучшими оценками, рассчитанными по выборке.

В практике статистического исследования встречаются такие распределения как нормальное, логарифмически нормальное, биномиальное, Пуассона и др.

Пример 7.3. В результате проверки 500 контейнеров со стеклянными изделиями установлено, что число поврежденных изделий Х имеет следующее эмпирическое распределение (x_i – количество поврежденных изделий в контейнере; n_i – число контейнеров, содержащих x_i поврежденных изделий):

Таблица 4

Исходные данные

xi	0	1	2	3	4	5	6	7
ni	199	169	87	31	9	3	1	1

Построить теоретический закон распределения в предположении, что случайная величина Х (генеральная совокупность) распределена по закону Пуассона.

Решение

Закон распределения Пуассона⁴ имеет следующий вид:

,

где k – число появлений исследуемого события;

, где p – вероятность появления исследуемого события; n – объем выборки.

Известно, что параметр λ, которым определяется распределение Пуассона, равен математическому ожиданию этого распределения. Поскольку в качестве оценки математического ожидания принимают выборочную среднюю, то и в качестве оценки λ можно принять выборочную среднюю , т.е.

.

Тогда вышеприведенная формула Пуассона примет вид:

.

Пример 7.4. В результате выборочного наблюдения было получено следующее статистическое распределение населения района по размеру среднемесячного дохода:

Таблица 5

Исходные данные

Среднемесячный доход, руб.	Численность, чел.
до 500	25
500 – 1000	115
1000 – 1500	243
1500 – 2000	251
2000 – 2500	118
свыше 2500	31
Итого	783

Построить теоретический закон распределения в предположении, что случайная величина Х (генеральная совокупность) распределена по нормальному закону.

Решение

Так как параметры нормального распределения (a, σ) неизвестны, то заменим их соответствующими несмещенными и состоятельными точечными оценками ( ). Рассчитаем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение⁵.

Таблица