7.2. Средние величины

Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений исследуемого количественного признака.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Определить среднюю величину признака во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) – отношение суммарного значения усредняемого признака к объему совокупности.

В статистике используют различные формы средних величин. При решении практических задач наиболее часто используют следующие:

1. Средняя степенная²:

В зависимости от значения m (-1; 0; 1; 2; …) получают соответственно среднюю гармоническую, среднюю геометрическую, среднюю арифметическую, среднюю квадратическую и т.д.

2. Средняя гармоническая (m = -1):

3. Средняя геометрическая³ (m = 0):

,

где .

4. Средняя арифметическая (m = 1):

Средняя арифметическая является наиболее распространенной средней величиной. Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

4.1. Средняя арифметическая постоянной величины равна самой постоянной величине.

4.2. Сумма произведений вариант на соответствующие им частоты равна произведению средней арифметической на сумму частот:

.

4.3. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

.

4.4. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшится) во столько же раз:

,

,

где с ≠ 0 – const.

4.5. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшится) на то же число:

,

где с – const.

4.6. . Если все частоты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится:

,

,

где с ≠ 0 – const.

4.7. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

.

4.8. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:

,

где - средняя арифметическая i-ой группы;

l – количество групп, рассматриваемого ряда;

l_i – число вариант i-ой группы;

n_ij – частота j-ой варианты, принадлежащей i-ой группе.

Необходимо различать среднюю арифметическую генеральной совокупности (генеральная средняя) и выборки (выборочная средняя). Последняя рассчитывается оп опытным (выборочным) данным и является точечной оценкой генеральной средней арифметической. В дальнейшем генеральную среднюю арифметическую будем обозначать , а выборочную - .

5. Средняя квадратическая (m = 2):

Средние гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая и др. средние степенные связаны между собой следующим образом:

Таким образом, с увеличением порядка m значение средней величины возрастает, т.е. средние степенные более высоких порядков доминируют над средними степенными более низких порядков. Данное свойство средних величин называют свойством мажорантности (доминирования) средних.