2.3 Развитие идей математической логики в второй половине XIX в. [Дж. Буль, ч.Пирс, Дж. Пеано, г.Фреге, п.Порецкий]

Процесс «математизации» логики начинается с работ Дж. Буля, Порецкого, Г.Фреге, Ч.Пирса, Дж. Пеано, Б. Рассела, Уайтхеда (вторая половина ХIХ – начало ХХ в.). В этот период складывается метод формализации логики и создается «алгебра логики», приближенная к математике система знаков и символов. Данная логика стала принимать знакомые современному взгляду очертания в творчестве Джорджа Буля. Буль был математиком и поэтому смотрел на логику глазами алгебраиста, что особенно заметно в его первой публикации «Математический анализ логики как очерк исчисления дедуктивных рассуждений» (1847), где логика представлена как вид алгебры, а именно неколичественной алгебры. По его мнению, логика является алгеброй «классов», определяемых как «отдельные предметы, объединенные под общим именем», и тех способов отбора и объединения классов, которые Буль считал основанием логического вывода. Например, мы заметим, что не имеет значения, извлечем ли мы вначале из некоторого класса все предметы X, а затем из полученного класса отберем все У, или же, вначале отобрав все У, мы затем извлечем из них все X. Представляя способ отбора Х или результат отбора (что будет иметь те же последствия) в виде символа х, а способ отбора У в виде символа у, Буль выражает тот факт, что порядок отбора не имеет значения, с помощью следующего уравнения: ху = ух. Например, класс млекопитающих, являющихся четвероногими, тождествен классу четвероногих, являющихся млекопитающими.

Некоторый исторический интерес представляет аспект теории вероятностей Буля. Изначально теория вероятностей разрабатывалась для оценки шансов в азартных играх. На него произвела сильное впечатление социальная статистика и его заинтересовал вопрос — мог бы обществовед, применяя к подобной статистике теорию вероятностей, делать успешные социальные прогнозы. Это обстоятельство и подтолкнуло Буля к поиску более общей теории. Здесь уже присутствует один из тех основных мотивов, что определили последующую разработку теории вероятностей в трудах такого логика и экономиста, как Кейнс.

Тем временем в Америке совершенно оригинальная логика стала вырисовываться в творчестве Ч. С. Пирса. Он был математиком и сыном математика, поэтому для него не было ничего более понятного, чем математические символы. Общий характер ранних логических трудов Пирса можно описать следующим образом: он модифицирует в различных отношениях логическую алгебру Буля, сохраняя ее алгебраический характер, но проводя четкое различие между ее чисто логическими ингредиентами и тем, что интерпретируемо лишь в математических терминах. Термин «человек», согласно Пирсу, означает следующее: сейчас передо мной имеется нечто, обладающее свойством X, а это означает: не верно, что сейчас передо мной имеется нечто и это нечто не обладает свойством X, а это в свою очередь означает: если передо мной сейчас есть нечто, то оно есть X. Логика становится единообразной благодаря «выведению» или «материальной импликации». Исследования Пирса по формальной логике имели в качестве своей предпосылки общую теорию природы логики, трактующую логику как «теорию знаков». Логика, с его точки зрения, это «наука о необходимых общих законах знаков и — символов, в частности».

Пирс разделил все знаки на семьдесят шесть видов, используя несколько различных оснований для деления. Так, например, «иконический знак» — это знак, имеющий сходство с тем, что он обозначает; в этом смысле фотография является «знаком» человека. «Индекс» имеет значение благодаря тем действиям, которые его объект на него оказывает; например, тень является «индексом» угла падения солнечных лучей. «Символ» связан с объектами только конвенционально, и большинство слов являются символами.

Несмотря на математический характер большей части его трудов, Пирс не считал логику чисто формальным исследованием. «Формальная логика, — писал он, — не должна быть излишне формальной; она должна выражать факт психологии, иначе есть опасность низведения ее до уровня математических забав». Своей ссылкой на «психологию» он хочет сказать, что логика должна принимать во внимание природу вывода, трактуемого как форма исследования и не совпадающего с импликацией, выражающей лишь формальную связь. Таким образом, его «логика» по большей части — это теория исследования, и он не считает зазорным включать в нее психологические, социальные и даже этические соображения.

Заметный шаг в создании логики для математиков был сделан группой итальянских логиков во главе с Дж. Пеано. В своей работе «Pormulaire de mathematiques» (1895—1908) Пеано и его соратники попытались доказать, что арифметику и алгебру можно построить, используя некоторые элементарные логические идеи (такие, как класс, принадлежность к классу, включение в класс, материальная импликация и произведение классов), три исходные математические идеи (нуль, число и число, следующее за данным) и шесть элементарных высказываний. Казалось, картезианский идеал выведения математики из нескольких простых понятий был, наконец, близок к осуществлению. Для упрощения этого выведения Пеано изобрел логическую символику, которая имела явные преимущества перед всеми применявшимися ранее и которую, в значительной мере, затем использовали Б.Рассел и Уайтхед.

Впервые фундаментальные проблемы логизированной математики были четко сформулированы в трудах Г. Фреге. В «Основаниях арифметики» (1884) и «Основных законах арифметики» (1893—1903) Фреге делает попытку обосновать арифметику путем выведения ее из логических принципов. Фреге начинает с критики господствующих «философий арифметики», среди которых он выделяет три: теорию «булыжников и пирожных», психологизм и формализм. Теория «булыжников и пирожных» представлена позицией Милля, полагавшего, что числа — это обобщения нашего опыта восприятия совокупностей разрозненных предметов. В порыве увлечения психологическими объяснениями многие философы стали писать о числах, как если бы они были тождественны процессам, в ходе которых мы применяем их. Это точка зрения психологизма. Другие философы, стремясь избежать ошибок Милля и психологистов, не обращаясь при этом к платоновским «идеям», пытались утверждать, что числа — это лишь знаки, а арифметика — игра со знаками, подобно тому как шахматы — это игра с фигурами. Это точка зрения формализма. Согласно Фреге, ни одна из этих теорий не может объяснить все свойства арифметики.

По его мнению, философы были вынуждены выбирать между этими неудовлетворительными теориями, ибо они ошибочно полагали, что все объективное должно существовать в пространстве. В результате им ничего не оставалось, как или склониться к пространственной трактовке чисел (как совокупностей объектов или меток на бумаге), или принять субъективную точку зрения. Однако, считает Фреге, это — ложная антитеза: «числа не являются ни пространственными, ни физическими, но они не являются и субъективными подобно идеям; они чувственно невоспринимаемы и объективны».

Мы поймем, как преодолеть традиционную антитезу субъективного и объективного, если, утверждает Фреге, осознаем, что числа применяются к «понятиям»; при этом понятие трактуется им не как «идея» или образ в индивидуальном сознании, а как «объект Разума». Если мы обратимся к физической вещи, то сразу увидим, что она не содержит в себе никакого конкретного числа. Например, кучу камней можно считать единицей (как одну отдельную кучу), или числом двадцать (как содержащую двадцать камней), или числом пять (как состоящую из пяти слоев). Сама по себе она не обладает ни одним из этих чисел, а с еще большей очевидностью она не может быть, утверждает он, «нулем». Отсюда Фреге заключает, что счету подлежит не множество объектов, а понятие. «Если я говорю, что «Венера имеет О спутников», то здесь ничего не утверждается о просто несуществующем спутнике или совокупности спутников; здесь на самом деле понятию «спутник Венеры» приписывается некоторое свойство, а именно — свойство ничего не охватывать собой».

Хотя Фреге утверждает, что числа «принадлежат» понятиям, он не имеет в виду, что 0 или любое другое число является свойством понятия. Числа входят в качестве составных частей в такие сложные предикаты, как «ничего не охватывающий собой», но не исчерпывают всего содержания этих предикатов. Числа, по его мнению, это не свойства, а объекты. Предложение «спутников Юпитера — четыре», в котором на первый взгляд число четыре приписывается спутникам Юпитера, следует понимать, считает он, как «число спутников Юпитера есть четыре»; таким образом, это предложение утверждает тождественность двух объектов: числа спутников Юпитера и четырех. Слово «есть» в выражении «есть четыре» не является обычной предикативной связкой, а выражает тождество, как и в предложении «Колумб есть первооткрыватель Америки». Таким образом, утверждает он, математик не нуждается в исходных математических идеях Пеано; арифметику можно вывести из чисто логических по своему характеру понятий.

Такая трактовка математики рождает великое множество проблем; наиболее очевидная из них связана с необходимостью дать удовлетворительное объяснение, в каком отношении находятся понятия к объектам, которые «подводятся под» них, и к числам, которые «присваиваются» им. Именно эти проблемы Фреге довольно подробно рассматривает в статьях «Функция и понятие» (1891), «Понятие и объект» (1892) и «Смысл и значение» (1892).

Аналогичным образом, считает Фреге, выражение «млекопитающие» в предложении «все млекопитающие теплокровны» не обозначает, как можно было бы предположить, понятие млекопитающее, поскольку это предложение утверждает лишь, что «все, что является млекопитающим, является и теплокровным», т. е. здесь определенные (непоименованные) объекты подводятся под два понятия: млекопитающее и теплокровное. Таким образом, выражение «млекопитающие» в этом предложении используется предикативно, а не является, несмотря на внешнее сходство, субъектом.

Более серьезная трудность возникает в случае предложений, говорящих, на первый взгляд, о понятиях, где «понятия описаны в терминах второпорядковых понятий». Мы все еще могли бы продолжать рассматривать предложение «все млекопитающие теплокровны» в качестве говорящего не о понятии млекопитающее, а об «объеме» этого понятия, т. е. о тех объектах, которые действительно можно описать как млекопитающих, — признавая определенный резон в возражении, что не понятие же является теплокровным. Но как в таком случае быть с предложением «понятие круглый квадрат пусто»? Здесь мы уже не можем утверждать, что это предложение говорит об определенном классе объектов — об объектах, обозначенных словосочетанием «круглые квадраты», ибо отрицание существования таких объектов составляет суть нашего предложения. Кроме того, в своей теории арифметики Фреге показал, что числа приписываются понятиям, а не объектам. При этом он взял на себя немалый труд обосновать, что сами числа — это объекты, а не понятия. Однако нужно было еще показать, каким образом в предложениях, где мы присваиваем числа понятиям, можно избежать трактовки понятия как объекта, для которого субъект нашего утверждения служит именем.

Последователи Фреге чаще всего не были удовлетворены тем, как он провел различие между смыслом и предметным значением, и, в особенности, тем, как он применил это различие к предложениям. Не приняли они и предложенную им трактовку различия между понятиями и объектами. Но Фреге по меньшей мере сформулировал проблемы в той форме, в какой последующие философы сочли плодотворным их рассматривать. Заявляя, что именно язык сбивает нас с толку, и выдвигая идеал совершенного и надежного языка, в котором каждое выражение имело бы определенный и четко установленный смысл, Фреге более любого другого философа XIX в. предугадал основные проблемы позитивизма XX столетия и его многочисленных наследников.

Платон Порецкий (1846-1907) первым в России разработал и читал курс математической логики. Он обобщил и развил достижения Дж. Буля, У.-С.Джевонса, Е. Шредера в сфере алгебры логики. Значительное место в трудах Порецкого занимала «теория последствий». Им обобщенная теория силлогистики традиционной логики, проанализированы некоторые несиллогистические соображения.