9. Системы счисления
9.1. Основные определения
Известна поговорка: всё познаётся в сравнении. Чтобы сравнивать что-то между собой, необходимо измерять количество этого «что-то». В процессе своего развития человек сначала сравнивал количество видимых простым глазом объектов. Со временем «объекты» видоизменялись, усложнялись. В настоящее время установлено «количество» для таких понятий, как шум, яркость света, цвет, и можно сравнивать величину шума, яркость света излучаемого различными источниками, можно точно подбирать краску под цвет какого-то окрашенного объекта и т.д.
Счёт: процесс определения количества чего-либо.
Число: обозначение количества чего-либо.
В дальнейшем люди научились выполнять операции над числами. Чтобы производить операции над числами, необходимо иметь систему представления чисел (записи чисел).
Исторически, люди придумывали для каждого числа своё обозначение. В русском языке: ноль, один, два…, десять и т.д. В английском языке: zero, one, two, … , ten and so on. Вспомним, мы уже рассматривали таблицу соответствия слов для любых двух естественных языков. В данном случае ситуация аналогичная.
Система счисления: язык, предназначенный для записи кодов чисел и для выполнения операций над кодами числами.
Принимая во внимание, что эти языки предназначены для определённых целей, для них введены специфические понятия, и системы счисления обладают определёнными свойствами.
Цифра: элемент алфавита системы счисления.
Алфавит системы счисления: множество цифр, используемых при записи кодов чисел в данной системе счисления.
Мощность алфавита: количество цифр в алфавите.
Цифра представляется одним знаком.
Код числа: запись числа с помощью цифр.
Из определения цифры и числа можно сделать вывод: цифра представляется одним знаком, запись числа представляется в виде последовательности цифр.
Число в частном случае может состоять из одного знака (цифры). Иными словами, цифра является числом.
Рис. 9.1.1.
В системах счисления существуют определённые правила:
формирования слов (кодов чисел);
выполнения операций (действий) над числами.
Для записи чисел существуют различные системы счисления.
Классы систем счисления:
непозиционные системы счисления;
позиционные системы счисления.
Соотношение между конкретным числом и кодами этого числа на разных языках (в разных системах счисления) можно представить следующим образом (Рис. 9.1.1.).
Обратите внимание, часто вместо «код числа» говорят «число». Часто для краткости совершаются такие подмены. Однако при этом сокращении необходимо всегда помнить об истинном смысле употребляемого термина.
9.2. Непозиционные системы счисления
В непозиционной системе счисления величина, которую обозначает цифра (знак алфавита), не зависит от положения этого знака в записи числа.
Самая распространённая непозиционная система счисления – римская.
Римская непозиционная система счисления
Цифры |
I |
V |
X |
L |
C |
D |
M |
Эквивалент в десятичной системе счисления |
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
500 |
1000 |
Рис. 9.2.1.
Обратите внимание на таблицу (Рис. 9.2.1.). Существуют различные системы счисления, однако для современного человека (вне зависимости от его родного естественного языка) «родной» системой счисления является десятичная. Человек может оценить величину числа (большое число или не очень большое, или очень маленькое) только в том случае, когда он видит код числа в десятичной системе счисления. Десятичная система счисления – это для человека естественный язык представления чисел. По этой причине, как правило, при представлении чисел в недесятичных системах счисления одновременно отображается и их эквивалент в десятичной системе счисления.
Число MMVII = 1000 + 1000 + 5 + 1 + 1 = 2007
Число MVI = 1000 + 5 + 1 + = 1006
Величина каждой цифры не изменяется:
цифра М занимает (справа-налево) 3, 4 и 5 места;
цифра V занимает 2, 3 места;
цифра I занимает 1 и 2 места.
Существует правило при переводе числа из римской системы счисления в десятичную систему счисления: если меньшая цифра расположена слева от большей, то она вычитается из большей; если меньшая цифра расположена справа от большей, то она суммируется с большей.
Число MCCXCIV = (1000 + 100 +100) + (-10 + 100) + (-1+5) = 1200+90+4 = 1294
Анализ вышеприведённого примера наверняка наведёт Вас, уважаемый читатель, на мысль, что при переводе числа из римской системы счисления в десятичную одного этого правила маловато. Это действительно так. При кажущейся простоте непозиционных систем счисления, в них существуют свои правила записи чисел. В данном случае одно из правил для римской системы счисления приведено лишь для иллюстрации.
В непозиционной системе счисления очень сложно выполнять операции над числами.