9.5.2. Преобразование дробной части числа

Если число H<1, то его код в системе счисления q равен H_q = 0,h_-1h_-2…h_m-1h_m, а развёрнутая форма записи кода числа:

H = h_-1*q^-1+ h_-2*q^-2+… +h_m-1*q^-(m-1)+ h_m*q^-m

Из этой записи видно, что для преобразования кода из первичной системы счисления во вторичную, можно проводить умножение в первичной системе счисления кода числа на основание вторичной системы счисления. При каждой операции умножения цифра целой части результата умножения является очередной старшей цифрой вторичного кода числа.

(h_-1*q^-1+ h_-2*q^-2+… +h_m-1*q^-(m-1)+ h_m*q^-m)*q = h_-1+ (h_-2*q^-1+… +h_m-1*q^-(m-2)+ h_m*q^–(m-1)

В таблице на Рис. 9.5.2.1, по аналогии с таблицей на Рис. 9.5.1.1., представлены краткие названия методов преобразования дробной части числа из одной системы счисления в другую. Человеку это правило удобно применять только при преобразовании 10→2, 10→8, 10→16. При обратном преобразовании 2→10, 8→10, 16→10 необходимо использовать представление числа в виде степенного ряда (полинома) в первичной системе счисления и проводить все вычисления в 10-ичной системе счисления.

Преобразования 2→8, 2→16 и для целой части, и для дробной части выполняются одним способом. Различие в преобразовании целой части от преобразования дробной части состоит в том, что при преобразовании целой части цифры группируются в триады или тетрады, начиная со знака «,» (разделитель целой и дробной частей) в направлении «справа-налево», а при преобразовании дробной части – в направлении «слева-направо».

Преобразования 8→2, 16→2 и для целой части, и для дробной части выполняются одним способом – записью каждой цифры первичного кода в двоичной системе счисления.

В остальных случаях преобразование необходимо проводить в 2 этапа. На первом этапе преобразовать код числа из первичной системы в 10-ичную, а на втором этапе – из 10-ичной системы во вторичную.

Основание	10	2	8	16
10	×	↑ (умн)	↑ (умн)	↑ (умн)
2	↑ (ст)	×	↑ (гр)	↑ (гр)
8	↑ (ст)	↑ (цифр)	×	↑ (комб)
16	↑ (ст)	↑ (цифр)	↑ (комб)	×

Рис. 9.5.2.1.

Пример 16. Преобразовать код числа 0,125₁₀ из 10-ичной системы в 2-ичную (Рис. 9.5.2.2.).

Разряд	Цифра кода (целая часть результата умножения)	Код и дробная часть результата умножения
	0,	125 2
a-1	0,	250 2
a-2	0,	5 2
a-3	1,	0

Рис. 9.5.2.2.

Результат: 0,125₁₀ = 0,001₂

Проведём проверку путём обратного преобразования.

0,001₂ = 0*2^-1+0*2^-2+1*2^-3 = 1 ⁄ 8 = 0,125₁₀

Пример 17. Преобразовать код числа 0,125₁₀ из 10-ичной системы в 8-ичную (Рис. 9.5.2.3.).

Разряд	Цифра кода (целая часть результата умножения)	Код и дробная часть результата умножения
	0,	125 8
a-1	1,	000

Рис. 9.5.2.3.

Результат: 0,125₁₀ = 0, 1₈

Проведём проверку путём обратного преобразования.

0,1₈ = 1*8^-1 =1 ⁄ 8 =0,125₁₀

Пример 18. Преобразовать код числа 0,125₁₀ из 10-ичной системы в 16-ичную (Рис. 9.5.2.4.).

Разряд	Цифра кода (целая часть результата умножения)	Код и дробная часть результата умножения
	0,	125 16
a-1	2,	000

Рис. 9.5.2.4.

Результат: 0,125₁₀ = 0,2₁₆

Проведём проверку путём обратного преобразования.

0,2₁₆ = 2*16^-1 = 2 ⁄ 16 = 1 ⁄ 8 =0,125₁₀

Отметим, что после нескольких шагов дробная часть равна 0. Такое событие является признаком окончания операций «умножение». Такие случаи возможны только при условии, что дробное число делится на основание вторичной системы нацело. В противном случае можно получать результат с необходимой точностью, т.е. закончить преобразование после получения нескольких цифр во вторичной системе счисления.

Пример 19. Преобразовать код числа 0,37₁₀ из 10-ичной системы в 2-ичную (Рис. 9.5.2.5.).

Разряд	Цифра кода (целая часть результата умножения)	Код и дробная часть результата умножения
	0,	37 2
a-1	0,	74 2
a-2	1,	48 2
a-3	0,	96 2
a-4	1,	92

Рис. 9.5.2.5.

Результат: 0,37₁₀ = 0,0101₂

Проведём проверку путём обратного преобразования.

0,0101₂ = 0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 1 ⁄ 4+1 ⁄ 16 = 5 ⁄ 16 = 0,3113~0,31

В данном случае результат является приближённым, полученным с определённой точностью. Если продолжать преобразование дальше, то можно получить более близкий к первичному числу результат: 0,010111101₂=0,359375~0,36

Пример 20. Преобразовать код числа 11101,1100011₂ из 2-ичной системы в 8-ичную и обратно.

11101,1100011₂ = 011 101,110 001 100₂ = 35,614₈

35,614₈ = 011 101,110 001 100₂ = 11101,1100011₂

Пример 21. Преобразовать код числа 11101,1100011₂ из 2-ичной системы в 16-ичную и обратно.

11101,1100011₂ = 0001 1101,1100 0110₂ = 1D,C6₁₆

1D,C6₁₆ = 0001 1101,1100 0110₂ = 11101,1100011₂

52