9.4. Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления

Рассмотрим на примерах следующие арифметические операции: сложение, вычитание, умножение. Для каждой операции в первом примере будет рассматриваться 10-ичная система счисления.

Операция «сложение»

Пример 1. Сложить число 6587381₁₀ с числом 5461716₁₀ (Рис. 9.4.1.).

Номер строки таблицы	Пояснения	Номер разряда
		7	6	5	4	3	2	1	0
1	Обозначение кода числа А	a7	a6	a5	a4	a3	a2	a1	a0
2	Обозначение кода числа B	b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0
3	Код числа А		6	5	8	7	3	8	1
4	Код числа B		5	4	6	1	7	1	6
5	Поразрядные суммы цифр каждого слагаемого Si =(ai+bi)		11	9	14	8	10	9	7
6	Результат уменьшения поразрядных сумм Si>=p, которые равны или больше основания системы [(ai+bi)-p]		1		4		0
7	Первичный перенос из предыдущего разряда в последующий	1		1		1
8	Поразрядные суммы цифр с учётом первичного переноса	1		10		9
9	Результат уменьшения поразрядных сумм, полученных с учётом первичных переносов			0
10	Вторичный перенос из предыдущего разряда в последующий (при добавлении первичного переноса)		1
11	Результат операции «сложение» ri	1	2	0	4	9	0	9	7

Рис. 9.4.1.

Операция «сложение» реализуется в несколько этапов.

1 этап. Определяются поразрядные суммы - суммируются цифры в каждом разряде: S_i = a_i+b_i (строка 5).

2 этап. В тех разрядах, в которых поразрядная сумма S_i оказывается не цифрой, а числом, т.е. S_i=a_i+b_i >= p, цифра результата определяется вычитанием основания системы: r_i=a_i+b_i – p (строка 6). Одновременно возникшая 1 переноса П_i «переходит» в последующий разряд i+1 (строка 7).

3 этап. Единицы переноса суммируются с поразрядными суммами П_i+S_i+1 (строка 8).

4 этап. Этот этап аналогичен 2-му этапу. Если П_i+S_i+1 >=p, то происходит вычитание основания системы: П_i+S_i+1– p (строка 9). Одновременно возникшая 1 переноса П_i+1 «переходит» в последующий разряд i+2 (строка 10).

Мы привыкли к 10-ичной системе счисления и выполняем в ней операции, «не задумываясь». Удобство 10-ичной системы счисления состоит не только в том, что мы работаем в ней с детства. Если разрядная сумма больше или равна 10₁₀, то в качестве цифры результата мы используем младшую цифру разрядной суммы, не проводя вычитание. Посмотрите на таблицу (Рис. 9.4.2.).

Цифра первого слагаемого	ai	4	9	7	5	7	8	8	9	9
Цифра второго слагаемого	bi	6	2	5	8	7	7	8	8	9
Первичная поразрядная сумма	Si=ai+ bi >=10	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Цифра результата		0	1	2	3	4	5	6	7	8

Рис. 9.4.2.

В первых двух строках значения цифр взяты для примера. Вместо, 7+5=12 можно рассматривать 8+4=9+3=6+6=12. Подчёркнутые цифры подтверждают вышеприведённое утверждение.

Операция «сложение» над кодами чисел в других системах счисления выполняется аналогичным образом. Однако есть особенность. Рассматривая нижеприведённые примеры, обратите внимание на эту особенность. В какой бы системе счисления (кроме десятичной) мы ни проводили операцию «сложение», суммирование мы проводим в десятичной системе счисления. Но сравнивать каждую поразрядную сумму мы должны с конкретным основанием системы счисления. Мы не можем в качестве цифры результата использовать младшую цифру суммы, а должны проводить вычитание, используя представление этого основания в десятичной системе счисления.

Чтобы выполнить любую операцию, необходимо представить процесс её выполнения в виде последовательности действий. Последовательность действий запишем на формальном языке PDL (Program Design Language) – языке проектирования программ. В дальнейшем мы будем более подробно рассматривать этот язык. Однако он достаточно простой, и запись действий на этом языке должна быть понятной, тем более, что к каждому оператору языка (действию) даётся комментарий.

Необходимо провести операцию «сложение» над двумя числами: A=a_na_n-1a_n-2… a₂a₁a₀ и B= b_nb_n-1b_n-2… b₂b₁b₀ в системе счисления с основанием р и получить сумму С= c_n+1c_nc_n-1c_n-2… c₂c₁c₀ (Рис. 9.4.3.).

Получите результаты представленных ниже примеров на операцию «сложение», читая и выполняя каждое действие в указанной таблице.

Номер оператора	Текст оператора	Комментарий
1	Ввести значение n	Задать значение количества разрядов, которыми представлены 2 слагаемых.
2	П=0	Установить начальное значение переноса из разряда в разряд
3	For i=0 to n	Оператор цикла, который устанавливает количество повторений тех действий (операторов), которые записаны между этим оператором и оператором Next. В данном случае переменная i обозначает текущее значение номера разряда от 0 до n (смотри коды чисел)
4	Si=ai+bi+П;	Определение разрядной суммы
5	If Si>=p Then	Условный оператор, когда выполняются различные действия в зависимости от результата проверки условия. Если разрядная сумма равна или больше р, то
	ci=Si-p; П=1;	определяется разрядная сумма и переменной «Перенос» присваивается значение «1».
	If i=n Then	Если сумма цифр в старшем разряде равна или больше р,
	ci+1= 1	то должна появиться 1 в следующем разряде
	Endif
6	else	Иначе (разрядная сумма меньше р), разрядная сумма определяется иным способом, и переменной «Перенос» присваивается значение «0».
	ci=Si; П=0;
7	Endif	Оператор конца условного оператора, который показывает, что все действия условного оператора записаны.
8	Next	Оператор конца цикла, который показывает, что все повторяющиеся действия оператора цикла For записаны.
9	Print C	Печатать значение суммы двух чисел

Рис. 9.4.3.

Пример 2. Сложить 2 числа 262,5₁₀ и 38,75₁₀ в 10-ичной системе счисления (Рис. 9.4.4.).

Записи типа «5+7=12=10+2» в схеме примера имеют следующий смысл. Если при суммировании двух цифр получено число S_i >=p, то S_i= p+r_i и П=1, где r –цифра разрядного результата.

Рис. 9.4.4.

Пример 3. Сложить 2 числа 10000110,1₂ и 100110,11₂ в 2-ичной системе счисления (Рис. 9.4.5.).

Рис. 9.4.5.

Пример 4. Сложить 2 числа 406,4₈ и 46,6₈ в 8-ичной системе счисления (Рис. 9.4.6.).

Рис. 9.4.6.

Пример 5 . Сложить 2 числа 106,8₁₆ и 26,12₁₆ в 16-ичной системе счисления (Рис. 9.4.7.).

Рис. 9.4.7.