Запись целых чисел в различных системах счисления

Основание р	Свёрнутая запись целого числа	Развёрнутая запись кода числа в системе счисления с основанием р	Код числа в системе с основанием р=10
2	10110	1* 24 + 0* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 0* 20	22
3	10110	1* 34 + 0* 33 + 1* 32 + 1* 31 + 0* 30	93
8	10110	1* 84 + 0* 83 + 1* 82 + 1* 81 + 0* 80	4168
10	10110	1*104 + 0*103 + 1*102 + 1*101 + 0*100	10110
16	10110	1*164 + 0*163 + 1*162 + 1*161 + 0*160	65808

Рис. 9.3.5.

Рассматривая таблицу на Рис. 9.3.5., можно сделать следующие выводы:

• В таблице представлен один код для пяти систем счисления.

• Чтобы оценить величину записанных этим кодом чисел, необходимо все коды представить в одной системе счисления, естественно, десятичной.

• По виду кода невозможно представить величину самого числа, т.к. человек привык работать с числами, представленными кодами в десятичной системе счисления.

Основные свойства позиционной системы счисления:

- количество различных цифр равно основанию системы счисления;

- наибольшая цифра на единицу меньше основания системы счисления;

- значение расположенной в каком-то разряде цифры в коде числа вычисляется умножением цифры на основание системы счисления в степени, соответствующей разряду, в котором находится цифра (занимаемой цифрой позиции).

По какой причине в любой позиционной системе счисления появляются разряды? С помощью только цифр системы счисления (когда код числа состоит только из одного разряда - а₀) можно получить максимальное число а_0max =р-1: 0, 1, 2, …, р-1. Однако счёт необходимо вести дальше. Вот и появляется более старший (второй) разряд – а₁, и код числа имеет уже 2 разряда – а₁а₀. Очевидно, что минимальное двухразрядное число с кодом а₁а₀ должно быть на 1 больше максимальной цифры алфавита системы счисления, т.е. (а₁а₀)_min = р-1 + 1 = р. Итак, минимальное двухразрядное число в любой системе счисления равно основанию этой системы счисления. Известно, что для десятичной системы счисления младший разряд числа называется разрядом «единиц», следующий разряд – разряд «десятков» и т.д. Такое название младший разряд получил, потому что при счёте каких-либо объектов в младшем разряде учитываются объекты, количество которых меньше основания системы счисления; и это количество называется «единицами». Во втором разряде считаются десятки объектов: десять, двадцать, тридцать и т.д. Этот разряд называется «разряд десятков».

Интересно, что название младшего разряда – «разряд единиц» справедливо для любой системы счисления. А вот собственные имена других разрядов существуют только для естественной для человека системы счисления. Разряд десятков – это разряд, в котором считаются десятки, разряд сотен – это разряд, в котором считаются сотни. А, например, в 8-ичной системе счисления разряд а₁, в котором считаются восьмёрки – числа 8¹ не имеет собственного имени. Объяснение простое – эта система счисления используется только профессионалами.

Ранее мы определили, что минимальное двухразрядное число (а₁а₀)_min равно основанию системы счисления р. А как представляется код этого числа? Запишем это число в развёрнутой форме:

(а₁а₀)_min = а₁*р¹+а₀*р⁰=р

Из этого равенства видно, что а₀=0 и а₁=1. Итак, (а₁а₀)_min=10. Обратите внимание, код числа (а₁а₀)_min - один и тот же для любой системы счисления. По своей величине эти числа - разные, хотя и имеют один и тот же код. В десятичной системе счисления – это число десять. В двоичной системе счисления – это число 2 и т.д. (Рис. 9.3.6.).

Значение чисел (а1а0)min в разных системах счисления
	Тип системы счисления
	2-ичная	3-ичная	8-ичная	16-ичная
Код числа	10	10	10	10
Значение числа в 10-ичной системе счисления	1*21+0*20=2	1*31+0*30=3	1*81+0*80=8	1*161+0*160=16

Рис. 9.3.6.

Для сравнения рассмотрим значения чисел (а₁а₀)_max в разных системах счисления (Рис. 9.3.7.):

Значение чисел (а1а0)max в разных системах счисления
	Тип системы счисления
	2-ичная	3-ичная	8-ичная	16-ичная
Код числа	11	22	77	FF
Значение числа в 10-ичной системе счисления	1*21+1*20=3	2*31+2*30=8	7*81+7*80=63	15*161+15*160=255

Рис. 9.3.7.

Анализ этих таблиц позволяет сделать вывод: всегда при записи кода числа для определённости необходимо указывать систему счисления, в которой записан код числа: 3457₈, 3457₁₀.