9.5. Преобразование кодов чисел из одной системы счисления в другую

Обычно говорят и пишут «перевод чисел из одной системы в другую», например, «перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную». Практически во всех предметных областях нередки случаи, когда вместо длинной, но точной формулировки какого-то утверждения применяется более короткая формулировка, и это допустимо. Однако при этом нельзя забывать об истинном смысле утверждения. Смысл рассматриваемой фразы состоит в том, что имеется в виду одно число, но исходными данными в задаче является код этого числа в двоичной системе счисления, а результатом, который необходимо получить путём обработки исходных данных, является другой код этого же числа в другой - десятичной системе счисления.

В общем виде задача формулируется следующим образом.

Имеется код числа А_p= a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀,a_-1a_-2…a_-m в первичной системе счисления с основанием p. Необходимо преобразовать код этого числа в новый код А_q = b_n-1b_n-2b_n-3…b₂ b₁b₀,b_-1b_-2…b_-m во вторичной системе счисления с основанием q.

9.5.1. Преобразование целой части числа

Имеются 4 системы счисления с различными основаниями: 10, 2, 8, 16. В таблице на Рис. 9.5.1.1. с помощью знака ↑ «стрелка» представлены варианты преобразований.

Например, знак ↑, находящийся в ячейке таблицы на пересечении строки, соответствующей основанию 2, и столбца, соответствующего основанию 10, указывает на преобразование кодов чисел из 2-ичной системы счисления в 10-ичную. Записи в каждой ячейке указывают на способ преобразования, которые мы рассмотрим:

ст – используется представление числа в виде степенного ряда (полинома);

Горнер – используется метод Горнера;

Основание	10	2	8	16
10	×	↑ (дел)	↑ (дел)	↑ (дел)
2	↑ (ст, Горнер)	×	↑ (гр)	↑ (гр)
8	↑ (ст, Горнер)	↑ (цифр)	×	↑ (комб)
16	↑ (ст, Горнер)	↑ (цифр)	↑ (комб)	×

Рис. 9.5.1.1.

дел – используется операция «деление»;

гр – используется группировка цифр кода;

цифр – используется преобразование отдельно каждой цифры кода;

комб – используется комбинация из двух методов.

В данной таблице можно выделить 3 группы пар кодов:

1 группа пар кодов – один из кодов представляет собой запись числа в 10-ичной системе счисления;

2 группа пар кодов - один из кодов представляет собой запись числа в 2-ичной системе счисления;

3 группа пар кодов – 2 кода представляют собой записи числа в 8 –ичной и 16-ичной системах счисления.

Правила преобразования основываются на трёх разных видах записи полинома - развёрнутой формы записи любого числа F.

1 вид (исходная формула): F = f_n-1*q^n-1+ f_n-2*q^n-2+…+ f₂*q² +f₁*q¹+ f₀*q⁰

2 вид: F = (f_n-1*q^n-1+ f_n-2*q^n-2+… + f₂*q² +f₁*q¹) + f₀

3 вид: F = (…(( f_n-1*q+f_n-2)*q+f_n-3)*q)+f_n-4)*q)…+ f₂)*q+f₁)*q+ f₀

Первый вид (исходная формула) является универсальным, т.е. этот вид может использоваться для любых кодов в паре. Два остальных вида устанавливают определённые процедуры преобразования кодов. В общем случае можно утверждать, что выбор того или иного вида записи и способа преобразования кодов определяется удобством выполнения преобразования для человека.

Рассмотрим решение задачи с применением второго вида развёрнутой формы записи числа. Цифры первичного кода известны: А_p= a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀. Необходимо найти цифры b_i вторичного кода. С учётом решения нашей задачи вместо просто записи числа необходимо рассматривать следующее равенство:

a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀ = b_n-1*q^n-1+ b_n-2*q^n-2+…+ b₂*q² +b₁*q¹+ b₀*q⁰ =

= (b_n-1*q^n-1+ b_n-2*q^n-2+… + b₂*q² +b₁*q¹) + b₀

Это равенство показывает, что если проводить операцию деления числа в виде кода А_p= a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀ в первичной системе счисления на основание q вторичной системы счисления, то при каждой операции деления будет получаться остаток b_i, равный цифре кода числа во вторичной системе счисления.

Первая операция деления (результат операции – первое частное с остатком b₀):

a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀/q = (b_n-1*q^n-2+b_n-2*q^n-3+… +b₂*q¹+ b₁*q⁰) + b₀ /q =

= (b_n-1*q^n-2+ b_n-2*q^n-3+… +b₂*q¹+ b₁) + b₀ /q

Во второй операции деления (делимым является целая часть первого частного) результатом операции является второе частное с остатком a₁:

[a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀ / q] / q = (b_n-1*q^n-3+ b_n-2*q^n-4+… +b₂) + b₁ /q

Таким образом, выполнив последовательно операцию деления до момента, когда целая часть текущего частного окажется меньше основания вторичной системы счисления q, мы получим в виде остатков цифры кода числа во вторичной системе счисления q. Отметим ещё раз, что деление проводится в первичной системе счисления p. Учитывая это условие, очевидно, что этот способ удобно использовать при преобразовании кода из 10-ичной системы счисления в любую другую. В таблице этот способ указывается с помощью записи «(дел)».

Проверим реализацию этого правила на примерах.

Пример 1. Преобразовать код числа 157₁₀ из 10-ичной системы в 2-ичную (Рис. 9.5.1.2.).

	157		2
	156		78		2
	1		78		39		2
			0		38		19		2
					1		18		9		2
							1		8		4		2
									1		4		2		2
											0		2		1
													0

Рис. 9.5.1.2.

Стрелка на этом и последующих рисунках указывает направление «от младшего разряда к старшему».

157₁₀ = 10011101₂

Пример 2. Преобразовать код числа 153₁₀ из 10-ичной системы в 8-ичную (Рис. 9.5.1.3.).

	153		8
	152		19		8
	1		16		2
			3

Рис. 9.5.1.3.

Результат: 153₁₀ = 231₈.

Пример 3. Преобразовать код числа 7723₁₀ из 10-ичной системы в 16-ичную (Рис. 9.5.1.4.).

	7723		16
	64		482		16
	132		48		30		16
	128		2		16		1
	43				14
	32
	11

Рис. 9.5.1.4.

Результат: 7723₁₀ = 1E2B₁₆

Теперь рассмотрим обратное преобразование: в 10-ичную систему. Способ преобразования делением можно использовать и в данном случае, когда вторичной системой является 10-ичная. Однако в данном случае его сложно использовать, т.к. деление необходимо проводить в 2-ичной или 8-ичной или 16-ичной системе. Вспомним, деление необходимо проводить в той системе счисления, в которой записан исходный код числа.

В данном случае целесообразнее использовать третий вид развёрнутой формы записи числа. Анализируя третий вид развёрнутой формы, можно увидеть, что преобразование реализуется циклическим выполнением пары действий. Первый цикл: цифра старшего разряда кода умножается на основание исходной системы счисления и суммируется с цифрой соседнего более младшего разряда. Второй цикл: полученное в предыдущем цикле число умножается на основание исходной системы счисления и суммируется с цифрой соседнего более младшего разряда. И т.д. Операции «умножение» и «сложение» выполняются, естественно, в привычной 10-ичной системе, и результатом является число в 10-ичной системе, что и необходимо. При этих преобразованиях применяется специальная форма записи. Этот способ преобразования назван «метод Горнера» по имени автора.

Пример 4. Преобразовать код числа 10011101₂ из 2-ичной системы в 10-ичную (Рис. 9.5.1.5.).

Исходный код числа	Промежуточные результаты	Пояснение
1 (a7)	1	Записывается цифра старшего разряда
0 (a6)	2	U1 = a7*p+a6 = 1*2+0 =2
0 (a5)	4	U2 = U1*p+a5 = 2*2+0=4
1 (a4)	9	U3 = U2*p+a4 = 4*2+1=9
1 (a3)	19	U4 = U3*p+a3 = 9*2+1=19
1 (a2)	39	U5 = U4*p+a2 = 19*2+1=39
0 (a1)	78	U6 = U5*p+a1 = 39*2+0=78
1 (a0)	157	U7 = U6*p+a0 = 78*2+1=157

Рис. 9.5.1.6.

Пример 5. Преобразовать код числа 4735₈ из 8-ичной системы в 10-ичную (Рис. 9.5.1.7.).

Исходный код числа	Промежуточные результаты	Пояснение
4 (a3)	4	Записывается цифра старшего разряда
7 (a2)	39	U1 = a3*p+a2 = 4*8+7 =39
3 (a1)	315	U2 = U1*p+a1 = 39*8+3=315
5 (a0)	2525	U3 =U2*p+a0 =315*8+5=2525

Рис. 9.5.1.7.

Пример 6. Преобразовать код числа A9F5₁₆ из 16-ичной системы в 10-ичную (Рис. 9.5.1.8.).

Исходный код числа	Промежуточные результаты	Пояснение
A (a3)	A (10)	Записывается цифра старшего разряда
9 (a2)	169	U1 = a3*p+a2 = 10*16+9 =169
F (a1)	2719	U2 = U1*p+a1 = 169*16+15 = 2719
5 (a0)	43509	U3 = U2*p+a0 = 2719*16+5=43509

Рис. 9.5.1.8.

При преобразовании в 10-ю систему счисления можно использовать исходную развёрнутую запись кода числа виде степенного ряда (полинома):

a_k-1a_k-2a_k-3…a₂a₁a₀ = a_k-1*p^k-1+ a_k-2*p^k-2+…+ a₂*p² +a₁*p¹+ a₀*p⁰

и проводить вычисления в 10-ичной системе счисления.

Пример 7. Преобразовать код числа 10011101₂ из 2-ичной системы в 10-ичную.

10011101₂ = 1*2⁷+1*2⁴+1*2³+1*2²+1 = 128+16+8+4+1 = 157

Пример 8. Преобразовать код числа 4735₈ из 8-ичной системы в 10-ичную.

4735₈ = 4*8³+7*8²+3*8+5 = 4*512+7*64+24+5 = 2048+448+24+5 = 2525

Пример 9. Преобразовать код числа A9F5₁₆ из 16-ичной системы в 10-ичную.

A9F5₁₆ = 10*16³+9*16²+15*16+5 = 10*4096+9*256+240+5 = 43509

Теперь рассмотрим преобразование для второй группы пар кодов: 8→2, 16→2, 2→8, 2→16.

Особенность этих трёх систем состоит в том, что системы с основаниями 8=2³ и 16=2⁴ являются кратными для 2-ичной системы счисления. На этом основаны способы преобразования. Пусть исходный код числа А представлен в 8-ичной системе счисления:

А₈ = a_k-1*8^k-1+ a_k-2*8^k-2+…+ a₂*8² +a₁*8¹+ a₀*8⁰

Каждая цифра a_i <=7. Это значит, что каждую цифру первичного кода можно представить в двоичном коде или .

Для простоты рассмотрим в 8-ичной системе трёхразрядное число A₈=a₂a₁a₀.

В этом выражении все цифры записаны в 2-ичной системе счисления: b_i<=1. Приведя подобные члены, можно получить следующее выражение:

A₂= b₈*2⁸+ b₇*2⁷+b₆*2⁶+ b₅*2⁵+ b₄*2⁴ +b₃*2³+ b₂*2² +b₁*2¹+ b₀

Обратите внимание на следующее обстоятельство: цифра в старшем разряде первичного кода может быть меньше 4. Это значит, что в двоичном коде она представляется только двумя разрядами. Это очень важное обстоятельство, определяющее преобразование 2→8, 2→16.

Правило преобразования кода числа из 8-ичной системы в 2- ичную: каждую цифру 8-ичного кода представить кодом в двоичной системе счисления.

Правило преобразования кода числа из 16-ичной системы в 2- ичную: каждую цифру 16-ичного кода представить кодом в двоичной системе счисления в виде 4 разрядов.

Пример 10. Преобразовать код числа 1735₈ из 8-ичной системы в 2-ичную.

Каждую цифру восьмеричного кода записываем в двоичном коде:

1735₈=001 111 011 101₂ = 1111011101₂

Для удобства чтения первая запись двоичного кода выполнена со знаками «пробел». В последней записи удалены незначащие цифры «0» в двух старших разрядах.

Пример 11. Преобразовать код числа 69F5₁₆ из 16-ичной системы в 2-ичную.

69F5₁₆= 0110 1001 1111 0101₂ =110100111110101₂

Правило преобразования кода числа из 2-ичной системы в 8- ичную: начиная с младшего разряда, сгруппировать цифры 2-ичного кода по три (в триады), затем каждую тройку цифр (триаду) 2-ичного кода представить кодом цифры в 8-ичной системе счисления.

Правило преобразования кода числа из 2-ичной системы в 16- ичную: начиная с младшего разряда, сгруппировать цифры 2-ичного кода по четыре (в тетрады), затем каждую четвёрку цифр (тетраду) 2-ичного кода представить кодом цифры в 16-ичной системе счисления.

Пример 12. Преобразовать код числа 1111011101₂ из 2-ичной системы в 8-ичную.

Код числа разбиваем на триады, начиная с младшего разряда.

100111011101₂ =1 111 011 101₂ = 1735₈

Пример 13. Преобразовать код числа 110100111110101₂ из 2-ичной системы в 16-ичную.

Код числа разбиваем на четвёрки цифр, начиная с младшего разряда.

110100111110101₂ = 110 1001 1111 0101₂ = 69F5₁₆

Рассмотрим преобразования для последней группы пар кодов: 8→16, 16→8.

Наиболее удобный для человека способ – это 2-этапная процедура: на первом этапе провести преобразование в 2-ичную систему, а затем в необходимую вторичную систему.

Пример 14. Преобразовать код числа 1735₈ из 8-ичной системы в 16-ичную.

1735₂=1 111 011 101₂ = 1111011101₂ = 11 1101 1101₂ = 3DD₁₆

Пример 15. Преобразовать код числа 69F5₁₆ из 16-ичной системы в 8-ичную.

69F5₁₆= 110 1001 1111 0101₂ =110100111110101₂ = 110 100 111 110 101₂ = 64765₈