87__Устойчивость линейных систем (вывод).

Устойчивость (в широком смысле) - это свойство системы возвращаться в некоторый или близкий к нему установившийся режим из начальных состояний.

Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений - частного решения неоднородного уравнения с правой частью и общего решения уравнения без правой части, т.е. с правой частью равной нулю

y_част

В случае y_част , это будет установившееся значение. Первое слагаемое (4) называют также вынужденным решением , а второе слагаемое - переходной составляющей . Тогда выражение (4) может быть записано в виде

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю: Найдем эту составляющую, решив дифференциальное уравнение без правой части

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение

Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в виде

где корни характеристического уравнения; постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса). то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части исходного дифференциального уравнения и определяется только характеристическим уравнением (6), а конкретно его корнями. Для затухания процесса необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т.е. система окажется неустойчивой.

Можно показать, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем можно убедиться прямым нахождением корней характеристического уравнения.

Покажем на примере влияние обратной связи на устойчивость. Пусть имеем звено с передаточной функцией

Решив характеристическое уравнение найдем его корни т.е. это звено является устойчивым.

Охватив его жесткой отрицательной связью с коэффициентом обратной связи Имеем

где

Характеристическое уравнение имеет вид и его корень т.е. при охвате инерционного звена жесткой отрицательной обратной связью его устойчивость не нарушится.

Иное дело при охвате инерционного звена жесткой положительной обратной связью. Имеем

где причем в зависимости от значения величина может быть или меньше нуля, или больше нуля, т.е. корень характеристического уравнения при будет и система устойчива; при корень равен и система неустойчива.

Если же , то имеем , т.е. изменился характер переходного процесса, т.к. это интегрирующее звено с корнем характеристического уравнения и тем самым система находится на границе устойчивости. Охватим это же инерционное звено гибкой отрицательной связью Имеем

где

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид и его корень равен т.е. при охвате инерционного звена гибкой отрицательной обратной связью устойчивость его не нарушится.

Охватим инерционное звено гибкой положительной обратной связью. Имеем

где причем в зависимости от значения величина может быть или меньше, или больше нуля, т.е. корень характеристического уравнения при будет равен и тем самым система устойчива; при корень равен и система неустойчива.

Если же то имеем то изменился характер переходного процесса, т.к. это усилительное безынерционное звено.