- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •1 Исторический обзор применения моделирования
- •2 Основы системного анализа и моделирования
- •2.1 Этапы системного анализа
- •2.2 Существующие подходы анализа системы
- •2.3 Понятие о моделировании. Классификация моделей
- •2.4 Основные этапы и принципы моделирования
- •3 Элементы математической статистики
- •3.1 Понятие о математической статистике
- •3.2 Задачи математической статистики
- •3.2.1 Первый этап – сбор и первичная обработка данных
- •3.2.2 Второй этап – определение точечных оценок распределения
- •3.2.3 Третий этап – определение интервальных оценок, понятие о статистической гипотезе
- •3.2.4 Четвертый этап – аппроксимация выборочного распределения теоретическим законом
- •3.3 Области применения статистических методов обработки данных
- •3.3.1 Статистический контроль прочности бетона
- •3.3.2 Метод множественной корреляции
- •4 Статистическое планирование эксперимента
- •4.1 Понятие о планировании эксперимента. Основные задачи эксперимента
- •4.2 Понятие о полиноме, отклике, факторах и уровнях варьирования, факторном пространстве
- •4.3 Первичная статистическая обработка результатов эксперимента
- •4.4 Математическая модель эксперимента. Метод наименьших квадратов
- •4.5 Получение некоторых эмпирических формул
- •4.6 Метод наименьших квадратов для функции нескольких переменных
- •4.7 Дисперсионная матрица оценок
- •4.8 Критерии оптимального планирования
- •4.9 Планы для построения линейных и неполных квадратичных моделей
- •4.10 Планы для построения полиномиальных моделей второго порядка
- •4.11 Регрессионный анализ модели
- •4.12 Анализ математической модели
- •4.13 Решение оптимизационных задач
- •4.14 Моделирование свойств смесей
- •4.15 Принципы имитационного моделирования
- •4.16 Решение рецептурно-технологических задач на эвм в режиме диалога
- •5 Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и управлении строительством
- •5.1 Математические модели некоторых задач в строительстве
- •5.2 Примеры решения некоторых задач
- •5.2.1 Решение транспортной задачи
- •5.2.2 Решение задачи о ресурсах
- •5.2.3 Решение задачи нахождения оптимальной массы фермы
- •5.3 Организационные задачи
- •6 Моделирование в строительстве
- •6.1 Модели линейного программирования
- •6.2 Нелинейные модели
- •6.3 Модели динамического программирования
- •6.4 Оптимизационные модели (постановка задач оптимизации)
- •6.5 Модели управления запасами
- •6.6 Целочисленные модели
- •6.7 Цифровое моделирование (метод перебора)
- •6.8 Вероятностно-статистические модели
- •6.9 Модели теории игр
- •6.10 Модели итеративного агрегирования
- •6.11 Организационно-технологические модели
- •6.12 Графические модели
- •6.13 Сетевые модели
- •7 Организационное моделирование систем управления строительством
- •7.1 Основные направления моделирования систем управления строительством
- •7.2 Аспекты организационно-управленческих систем (моделей)
- •7.3 Деление организационно-управленческих моделей на группы
- •7.4 Виды моделей первой группы
- •7.5 Виды моделей второй группы
- •Список использованных источников
6.2 Нелинейные модели
Слово нелинейные показывает, что соответствующие задачи описываются нелинейными уравнениями. Свойство нелинейности состоит в том, что результат взаимодействия нескольких факторов не равен простой алгебраической сумме их действий. Например, если планировать одновременную работу двух рабочих, то их производительность будет одна, если четырех - она может быть и меньше из-за недостаточности фронта работ, несогласованности действий рабочих и т.д. Нелинейная зависимость между переменными характерна и для задач размещения, в которых неизвестными являются не только пункты производства, но и объемы производства в каждом из них. Затраты на выпуск единицы строительной продукции обычно уменьшаются с ростом объема производства нелинейно. Поэтому в критерии оптимальности задачи размещения производства, представляющем собой приведенные затраты на производство и транспортировку продукции, будут содержаться нелинейные члены.
Покажем на примере различия в линейной и нелинейной постановках задач.
Пусть задача связана с определением оптимального распределения m однотипных строительных бригад для строительства n однотипных объектов.
Задан требуемый темп выполнения работ и норма их выполнения для каждой бригады - qi.
Требуется найти такое распределение бригад, при котором темп выполнения всего объема работ будет максимальным.
Введем обозначения:
Viтр - требуемый темп выполнения работ на i-ом объекте;
qi - норма по выполнению работ на i-ом объекте;
хi - количество бригад, назначаемых на выполнение работ на i-ом объекте.
Рассмотрим функцию,
Vi = Vi (хi, qi) (6.4)
характеризующую темп выполнения работ на i-ом объекте при выделении на этот объект хi бригад.
В линейной постановке этой задачи целевая функция и ограничения должны быть линейными. В частности, функция Vi = Vi (хi, qi) запишется в виде:
Vi = хi · qi (6.5)
Графически эта зависимость представлена на рисунке 26.
Рисунок 26 - Зависимость темпа выполнения работ на объекте от количества выделенных бригад
В качестве критерия выберем средний темп выполнения работ на n объектах.
(6.6)
Если обозначить величину через Ci , то целевая функция будет иметь вид:
(6.7)
Систему ограничений можно построить следующим образом:
(6.8)
Таким образом, постановка задачи имеет следующий вид: найти такое количество бригад xi, выделяемых на каждый объект, при котором достигает максимума функция
(6.9)
и выполняются ограничения:
(6.10)
На практике функцию Vi (xi) вряд ли правильно считать при значениях xi > 3 линейной. Учитывая тенденцию так называемого "насыщения", она скорее всего будет иметь вид, показанный на рисунке 27.
Рисунок 27 - Характер изменения общей производительности бригад в зависимости от их количества
Рассмотрим нелинейную постановку задачи, сняв требование линейности с функции Vi (xi) и целевой функции F(x1, x2, ..., хn), т.е. будем считать их произвольного вида.
Покажем важнейший недостаток приведенной ранее линейной постановки задачи, а именно: критерий - средний темп выполнения работ
(6.11)
Он не учитывает возможности выполнения работ на отдельном объекте. Например, для следующих 2-х вариантов распределения бригад может оказаться средний темп выполнения работ одинаковым
Более полным будет обобщённый критерий, если его построить на принципе учёта расстояния или «дефицита» показателей эффективности по отдельным объектам, в частности, «дефицита» по темпам возведения отдельных объектов:
(6.12)
Обычно «дефицит» выражают в относительных величинах
(6.13)
Целевая функция с учётом приведённых ранее соображений может быть записана в виде:
(6.14)
Иначе говоря, чем меньше значения максимального "дефицита", т. е. функции F(x1, x2,..., хn), тем в целом успех выполнения работ будет выше. При этом ограничения будут иметь вид:
(6.15)
Если в линейной постановке зависимость темпа строительства от количества выделенных на объект бригад описывалась формулой
(6.16)
то в нелинейной постановке она может иметь следующий вид:
(6.17)
где li - коэффициент, учитывающий условия выполнения работ (например, зимой).
При график функции V= показан на рисунке 28.
Рисунок 28 - Характер изменения возможностей бригад от их количества
В рассмотренном примере показана разница в линейной и нелинейной постановке аналогичной задачи.
В некоторых задачах из области организации и управления строительством в качестве "дефицита" может быть использовано отклонение требуемого времени продолжительности строительства от расчетного, т.е.
(6.18)
При этом целевая функция будет иметь вид:
F = max(∆Тi) (6.19)
Алгоритмом для поиска решений в случае нелинейных моделей является математический аппарат нелинейного программирования. Если целевая функция отыскивается в условиях неопределенности, то такая задача относится к стохастическому программированию. Применительно к экономико-технологическим явлениям и процессам нелинейное программирование относится к наиболее неизученному математическому направлению.