- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •1 Исторический обзор применения моделирования
- •2 Основы системного анализа и моделирования
- •2.1 Этапы системного анализа
- •2.2 Существующие подходы анализа системы
- •2.3 Понятие о моделировании. Классификация моделей
- •2.4 Основные этапы и принципы моделирования
- •3 Элементы математической статистики
- •3.1 Понятие о математической статистике
- •3.2 Задачи математической статистики
- •3.2.1 Первый этап – сбор и первичная обработка данных
- •3.2.2 Второй этап – определение точечных оценок распределения
- •3.2.3 Третий этап – определение интервальных оценок, понятие о статистической гипотезе
- •3.2.4 Четвертый этап – аппроксимация выборочного распределения теоретическим законом
- •3.3 Области применения статистических методов обработки данных
- •3.3.1 Статистический контроль прочности бетона
- •3.3.2 Метод множественной корреляции
- •4 Статистическое планирование эксперимента
- •4.1 Понятие о планировании эксперимента. Основные задачи эксперимента
- •4.2 Понятие о полиноме, отклике, факторах и уровнях варьирования, факторном пространстве
- •4.3 Первичная статистическая обработка результатов эксперимента
- •4.4 Математическая модель эксперимента. Метод наименьших квадратов
- •4.5 Получение некоторых эмпирических формул
- •4.6 Метод наименьших квадратов для функции нескольких переменных
- •4.7 Дисперсионная матрица оценок
- •4.8 Критерии оптимального планирования
- •4.9 Планы для построения линейных и неполных квадратичных моделей
- •4.10 Планы для построения полиномиальных моделей второго порядка
- •4.11 Регрессионный анализ модели
- •4.12 Анализ математической модели
- •4.13 Решение оптимизационных задач
- •4.14 Моделирование свойств смесей
- •4.15 Принципы имитационного моделирования
- •4.16 Решение рецептурно-технологических задач на эвм в режиме диалога
- •5 Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и управлении строительством
- •5.1 Математические модели некоторых задач в строительстве
- •5.2 Примеры решения некоторых задач
- •5.2.1 Решение транспортной задачи
- •5.2.2 Решение задачи о ресурсах
- •5.2.3 Решение задачи нахождения оптимальной массы фермы
- •5.3 Организационные задачи
- •6 Моделирование в строительстве
- •6.1 Модели линейного программирования
- •6.2 Нелинейные модели
- •6.3 Модели динамического программирования
- •6.4 Оптимизационные модели (постановка задач оптимизации)
- •6.5 Модели управления запасами
- •6.6 Целочисленные модели
- •6.7 Цифровое моделирование (метод перебора)
- •6.8 Вероятностно-статистические модели
- •6.9 Модели теории игр
- •6.10 Модели итеративного агрегирования
- •6.11 Организационно-технологические модели
- •6.12 Графические модели
- •6.13 Сетевые модели
- •7 Организационное моделирование систем управления строительством
- •7.1 Основные направления моделирования систем управления строительством
- •7.2 Аспекты организационно-управленческих систем (моделей)
- •7.3 Деление организационно-управленческих моделей на группы
- •7.4 Виды моделей первой группы
- •7.5 Виды моделей второй группы
- •Список использованных источников
4.3 Первичная статистическая обработка результатов эксперимента
Статистическое поведение моделирования системы проводится исследователем только на основе фактических данных, т.е. сведений о состоянии конкретного объекта технико-экономического исследования. Так как эти данные будут способствовать изменению наших знаний об объекте, то они представляют собой информацию о нем, причем тем большую, чем новее для нас содержание этих сведений. Будем считать, что исследуемая величина у связана некоторым образом с величинами х1, х2, …, хk – входными величинами (факторами), значения каждой из которых могут быть выбраны произвольно из некоторой области.
Например, .
В качестве факторов могут рассматриваться время, температура, напряжение, давление, процентное содержание реагентов и т. д. Каждому набору факторов соответствует вектор – столбец .
(4.10)
где Т – знак транспонирования.
Пространство размерности N, которому принадлежит вектор , называется факторным пространством. Совокупность точек этого пространства, в котором значения х1, х2, …, хk могут быть реализованы экспериментатором, называется допустимой областью факторного пространства, то есть вектор столбцов факторов может быть n штук, и они составляют некоторую матрицу.
(4.11)
Заметим, что эти наборы вектор – столбцов факторов можно составлять различным образом. Можно изменять сразу же все значения факторов или по отдельности каждый. Немаловажную роль играет число этих наборов п.
Так как в эксперименте рассматриваются не все возможные значения входных факторов, а некоторая выборка из этих значений (n столбцов матрицы), то необходимо, чтобы эта выборка была значима. Ответ на этот вопрос могут дать некоторые критерии согласия. В эксперименте каждый набор входных параметров , повторяется ni раз, но значения выходного параметра у тождественно равны между собой не будут. Они будут иметь значения (хоть и мало отличающиеся друг от друга)
В качестве значения выходного параметра уi для набора входных параметров , берется среднее значение величин уik (прообраз математического ожидания)
(4.12)
Кроме того, вычисляется среднеквадратическое отклонение равное корню квадратному из дисперсии:
(4.13)
Большое значение имеет число ni, повторений набора входных параметров , так как при малом значении ni, и среднее значение выходного параметра уi, и среднеквадратическое отклонение , характеризующее разброс значений выходного параметра вокруг среднего значения уi, будут существенно отличаться от истинных значений этих величин. Так как точные значения этих величин неизвестны, то для оценки точности приближенных их значений можно использовать доверительный интервал, а также критерии согласия.
В этом заключается первичная статистическая обработка результатов эксперимента. Таким образом, в результате проведения эксперимента получается таблица значений и уi.
В результате для каждого из Ny выходов системы всегда будет получена информационная таблица, фиксирующая данные и результаты их первичной статистической обработки (исходные данные образуют информационную матрицу), представленную в таблице 2.
Таблица 2 - Информационная таблица поведения системы
Входные характеристики системы (план эксперимента) |
Выходные характеристики системы (результаты эксперимента) |
||||
Номер опыта |
Значения факторов x1…xi…xk |
Число параллельных измерений |
Значения Y в каждом измерении |
Среднее выхода Ŷu |
Диспер-сия выхода Su2 |
1 … u … … … N |
X11…1u…Xk1 ……………… X1u…Xiu…Xku ……………… ……………… ……………… X1N…XiN…XKN |
m1 … mu … … … mN |
Y11…Y1ω…Y1m …… Yu1…Yuω…Yumu ……. ……. ……. YN1…YNω..YNmN |
Ŷ1 … Ŷu … … … ŶN |
S12 … Su2 …. …. …. SN2 |
В нее входят:
а) номера опытов 1, …u, …N;
б) матрица значений факторов размерности N*K;
в) число измерений mu в каждом опыте;
г) матрица экспериментальных значений выходов размерности N*m;
д) вектор наблюдений размерности N*1, составленный из средних значений Ŷu;
е) вектор дисперсии размерности N*1, составленный из рассчитанных по результатам каждой строки оценок Su2.