5.2.2 Решение задачи о ресурсах

Вид сформулированной задачи в п. 5.1 не является каноническим, поскольку условия (5.4) имеют вид неравенств, а не уравнений и поставлена задача максимизации целевой функции (5.3). Путем введения дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ (по количеству ограничений неравенств (5.4)) ограничения можно свести к равенствам, прибавив эти переменные к левым частям неравенств. Тогда ограничения примут вид

4 х₁ + 5 х₂ +х₃ = 300

2 х₁ + х₂ + х₄ = 100 (5.30)

2 х₁ +3х₂ + х₅= 160

При этом очевидно, что х₃ ≥ 0, x₄ ≥ 0, х₅ ≥ 0.

Заметим, что введение дополнительных неизвестных не повлияло на вид целевой функции (5.3), которая зависит только от параметров х₁ и х₂. Фактически x₃, х₄, x₅ будут указывать остатки ресурсов, не использованные в производстве.

Теперь нужно перейти от задачи максимизации к задаче минимизации. Если функцию цели (5.3) взять со знаком минус, то есть принять

(5.31)

то получим задачу минимизации для этой целевой функции. Нетрудно увидеть, что ранг матрицы системы ограничений (5.30)

(5.32)

равен 3. Следовательно, базисных неизвестных будет три, а свободных две. Ясно, что х₁ и х₂, должны быть среди базисных, за базисную неизвестную возьмем еще х₃. Тогда, разрешив систему (5.30) относительно х₁, x₂ и х₃, получим систему ограничений в базисной форме

х₁ = 35 - 0,75 х₄ + 0,25 х₅

х₂ = 30 + 0,5 х₄ - 0,5 х₅ (5.33)

х₃ = 10 + 0,5 х₄ + 1,5 х₅

Если свободные неизвестные x₄ и х₅ принять равными нулю, то неизвестные будут положительны. Следовательно, первый опорный план будет иметь вид (35, 30, 10, 0, 0).

Подставив в функцию цели (5.32) вместо базисных переменных их выражения (5.33), получим

(5.34)

Так как все коэффициенты при свободных неизвестных в функции цели положительны, то найденный опорный план будет оптимальным.

Таким образом, ответ на поставленную задачу об использовании ресурсов следующий: для получения максимальной суммарной стоимости продукции при заданных ресурсах необходимо запланировать изготовление изделий А в количестве 35 шт. и изделий В в количестве 30 шт.

Суммарная стоимость продукции равна 710 р. При этом все ресурсы стекла и рабочего времени будут использованы, а металла останется 10 кг.

5.2.3 Решение задачи нахождения оптимальной массы фермы

Из последнего уравнения системы (5.13) выразим N₄ и подставим в остальные уравнения системы. В результате исключим неизвестное N₄, и система ограничений примет вид

y₁ – RА₁ + 1,5812у₅ – 1,5812RA₄ = - 1,5812F

y₂ – RА₂ – 5,025 у₅ + 5,025 RА₄= 0 (5.35)

у₃ – RA₃ – 6,5 у₅ + 6,5RA₄ = 1,5F

у₄ – RA₃ + 6,5 у₅ – 6,5RA₄ = -1,5F

Ранг матрицы системы ограничений (5.35) r = 4. Следовательно, базисных неизвестных будет 4, а свободных – 5. Неизвестные А₁, А₂, А₃, А₄ за свободные принять нельзя, так как свободные неизвестные в опорном плане принимаются равными нулю. Поэтому за свободные неизвестные принимаем у₁, у₂, у₃, у₄, у₅ и за базисные – А₁, А₂, А₃, А₄, которые из системы (5.35) выражаем через свободные (из последних двух уравнений выражаем А₄, а из первых трех – А₁, А₂, А₃)

(5.36)

Так как при y = 0 базисные неизвестные A_: неотрицательны, то первый опорный план будет иметь вид

(5.37)

Запишем функцию цели в базисной форме, подставив для этого (5.36) в (5.9),

(5.38)

Так как все коэффициенты при свободных неизвестных в функции цели не отрицательны, то найденный первый опорный план будет оптимальным. Следовательно, оптимальные площади поперечных сечений будут равны

При этом

Если

Следует заметить, что в результате оптимизации рассмотренной фермы она даже изменила свой первоначальный вид (стержень 3 убран).