3.3.2 Метод множественной корреляции

В практической работе часто возникает необходимость определить количественное влияние множества факторов, действующих одновременно или в отдельности. В таких случаях используют методы множественной корреляции, которые позволяют исследовать статистические зависимости результативного признака от нескольких факториальных.

При использовании методов множественной корреляции составляют многофакторные статистические модели, сущность которых состоит в получении уравнений множественной регрессии. Однако прежде чем рассчитывать уравнение множественной регрессии и определять его коэффициенты, необходимо установить вид этого уравнения. Ту или иную форму многофакторной связи необходимо выбирать с учетом некоторых условий:

- выбранная функция должна отражать закономерности, существующие между признаками, принятыми для многофакторного исследования;

- аналитическое уравнение многофакторной связи, используемое в качестве аппроксимирующей функции, должно иметь по возможности простой вид;

- число факторов, включаемых в модели, должно быть ограничено, чтобы модели были удобны в практической работе.

Взаимосвязь между признаками, состоящая в изменении средней величины одного из них в зависимости от значения другого, называется корреляцией. Слово «корреляция» происходит от английского relation и означает соотношение или соответствие между факторами и признаками. Термин корреляция применяется в различных областях науки и техники для обозначения взаимозависимости, взаимного соответствия. Посредством корреляции можно определить числовое значение влияния каждого из множества анализируемых факторов, действующих совместно на одну из сторон процесса и взаимосвязанных между собой.

Статистические методы и теория корреляции позволяют понять происхождение конкретного явления, вскрыть составляющие его факторы, изучить процесс формирования явления не только в качественной, но и в количественной форме и выразить его статистической моделью.

Методы теории корреляции позволяют устанавливать взаимосвязь изучаемых факторов без учета влияния случайных. При решении конкретных задач этими методами говорят о наличии коррелированных величин, т. е. таких, которые связаны друг с другом корреляционной связью.

При выполнении корреляционных расчетов необходимо различать факториальный и результативный признаки. Факториальным называется такой признак, от которого зависит другой признак, а он сам является независимым. В отличие от него зависимый признак называется результативным. В процессе формализации статистической модели факториальный признак обозначается через х, а результативный - через у, т. е. условно можно сказать, что факториальный признак выражает аргумент, а результативный - функцию. В статистических исследованиях, выполняемых с помощью методов корреляционного анализа, возможны случаи, когда один и тот же признак в различных статистических совокупностях выступает в качестве результативного и факториального. Это значит, что определение результативного и факториального признаков не является раз и навсегда законченным процессом, напротив, он зависит от конкретных условий изучения взаимосвязей различных факторов.

В процессе корреляционного анализа осуществляется исследование связей, которое состоит из совокупности методов и приемов по выявлению, изучению и количественной оценке взаимосвязей между результативными и факториальными признаками. Среди них наиболее простым является метод группировок, основанный на выявлении различий между групповыми средними.

Связь между показателями и факторами часто выражается корреляционной зависимостью, сущность которой состоит в том, что на величину результативного признака оказывают влияние не только факториальный, а множество случайных признаков, изолировать которые не представляется возможным. Если при исследовании явлений или их признаков наблюдаются изменения характеристик распределения одного из них под воздействием другого, то говорят о наличии статистической связи. Эти связи характеризуются тем, что в них результативный признак определяется влиянием не только факториального признака. В отличие от функциональных корреляционные связи не являются причинно-следственными, а бывают вероятностными или стохастическими. Стохастические связи проявляются между случайными величинами и наблюдаются обычно тогда, когда наряду с общими случайными факторами, влияющими как на одну, так и на другую величину, имеются еще и другие случайные факторы, не одинаковые для обеих величин.

В зависимости от постановки задачи и статистических методов, используемых для ее решения, различают парную и множественную корреляцию. Парная корреляция устанавливает количественную взаимосвязь между парой признаков, один из которых является факториальным, а другой — результативным. Множественная корреляция определяет взаимосвязь между множеством признаков и поэтому в отличие от парной характеризуется множеством факториальных признаков.

Для того, чтобы проанализировать статистический материал и сделать соответствующие выводы, необходимо привести в определенный порядок или систематизировать исходные данные. Первоначально статистический материал систематизируется по одному качественному признаку путем построения ряда распределения и расчета его статистических характеристик.

Если необходимо одновременно проанализировать статистический материал, характеризующий те или иные экономические явления по двум или большему числу признаков, то используют методы корреляции, которые позволяют установить корреляционную зависимость между факторами. С увеличением числа единиц статистической совокупности появляется возможность выявить определенные закономерности, присущие анализируемым процессам и явлениям, которые трудно установить при изучении незначительного числа наблюдений. В этом проявляется действие закона больших чисел. Таким образом, если отдельные единицы статистической совокупности находятся в некоторых общих условиях, то на их основе можно установить закономерность из совокупного действия большого числа, случайных факторов.

Проведение научных исследований, решений технических, организационных, экономических и других задач неразрывно связано с опытами или массовыми процессами и явлениями, которые многократно повторяются при наличии некоторых весьма общих условий. Однако как бы тщательно ни готовились опыты, их результаты в той или иной степени отличаются друг от друга. Это связано с тем, что условия проведения опытов изменяются под влиянием многочисленных случайных факторов, которые не поддаются контролю и колеблются от одного измерения к другому. Если эти колебания невелики и отражаются лишь на точности расчетов, то ими можно пренебречь и с некоторым приближением рассматривать как функциональную зависимость. При исследовании функциональной зависимости, как правило, удается изолировать влияние случайных факторов. В некоторых же исследованиях практически невозможно устранить влияние побочных факторов, так как сама постановка эксперимента обычно невозможна. В этих условиях определяются корреляционные связи. При корреляционной зависимости, в отличие от функциональной, каждому значению аргумента соответствует ряд распределения функции, и с изменением аргумента эти ряды изменяются.

Первая и основная задача, которую решает теория корреляции, - это измерение связи. Сущность ее заключается в том, чтобы на основе наблюдения над большим статистическим материалом выяснить, как изменяется функция при изменении одного аргумента и неизменности остальных. В действительности влияние побочных факторов устранить не удается.

Изучение статистических зависимостей основывается на исследовании таких связей между случайными переменными, при которых различные значения принимает другая случайная переменная. Зная статистическую зависимость между случайными переменными, можно прогнозировать значение зависимой случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определенное значение.

Метод, позволяющий по выборке, которая содержит отдельные наблюдавшиеся значения неизвестных параметров а₀, а₁… а_n называется множественной регрессией, а полученное выражение – уравнением множественной регрессии.

Зависимость между одной случайной переменной и условным средним значением другой случайной переменной называется корреляционной зависимостью. Она характеризуется формой и теснотой связи. Форма связи – это вид математической связи между случайными величинами, характеризуется функцией регрессии (линейная, квадратная, показательная и т.д.).

Для характеристики формы связи пользуются понятием кривой регрессии – это условное среднее значение случайной переменной Y, рассматриваемой как функция от Х, то есть .

Графической формой систематизации статистического материала по двум качественным признакам является поле корреляции. Для его построения необходимо определить, какой из признаков является факториальным, а какой — результативным. По нему можно в первом приближении сделать вывод о форме и тесноте связи. Такая линия называется эмпирической линией регрессии. Теснота связи между случайными величинами оценивается по коэффициенту корреляции.

На основе выявленной формы между признаками рассчитывают параметры уравнения множественной регрессии. Для их получения можно использовать два способа: способ парных коэффициентов корреляции и способ наименьших квадратов. Однако такое выделение двух способов несколько условно, так как в обоих случаях используется метод наименьших квадратов. В первом случае коэффициенты уравнения множественной регрессии рассчитываются по методу наименьших квадратов через парные коэффициенты корреляции r_у/х и находятся стандартизованные коэффициенты регрессии β_j, во втором случае - по способу наименьших квадратов через переменные у и х находятся коэффициенты регрессии в натуральных единицах наблюдения в виде a_j.. Первый способ является наиболее трудоемким, но он дает полный материал для анализа изучаемых зависимостей. Второй способ менее трудоемок, однако на его основе можно получить лишь коэффициенты уравнения регрессии a_j и совокупный коэффициент корреляции R. Коэффициенты же парной корреляции r_у/х здесь получить не удается.

В области технологии строительного производства и технологии изготовления строительных материалов на заводах стройиндустрии методы корреляционного анализа используются для решения задач, связанных с изучением массовых закономерностей производственного процесса в целях его оптимизации, повышения качества и надежности продукции.

Статистические методы контроля качества продукции нашли широкое применение в практике работы промышленных предприятий, производящих строительные материалы, детали, конструкции и полуфабрикаты. Использование методов парной и множественной корреляции при изучении технологических процессов позволяет определять оптимальные характеристики этих процессов. Например, исследуя влияние различных факторов технологического процесса приготовления бетона на его качество и прочность, можно установить статистическими методами оптимальное соотношение между процентным содержанием воды, песка и цемента в замесе с учетом температуры смеси и средней температурой среды хранения бетона. Эти же методы позволяют осуществлять статистический анализ различных способов бетонирования в зимних условиях: методом «термоса»; с применением добавок - ускорителей твердения бетона; с предварительным электро- или пароразогревом бетонной смеси; с использованием быстротвердеющих цементов с повышенным тепловыделением; укладкой бетонов с противоморозными добавками, твердеющими при отрицательных температурах; с искусственным прогревом и обогревом бетона с помощью электрической энергии, пара или теплого воздуха (кратковременный нагрев, периферийный электропрогрев, греющие опалубки, электропрогрев нашивными электродами, индукционный метод обогрева, инфракрасный обогрев) и т. д.

Методы регрессионного анализа дают возможность выполнить комплексное исследование влияния различных способов зимнего бетонирования на стоимость бетонных работ исходя из модуля поверхности конструкций наружной температуры воздуха, марки применяемого цемента и других технологических параметров и таким путем определить величину зимних удорожаний в зависимости от методов производства бетонных работ.

Применительно к деятельности заводов строительной индустрии особенно пригодны статистические методы контроля качества продукции. Здесь применимы выборочные методы контроля. Для этого проводится выборка изделий из всей совокупности с целью исследовать качество продукции в отобранной части и сделать вывод о качестве продукции всей партии. Наряду с этим выборка используется для контроля за ходом самого производственного процесса и недопущения выпуска бракованных изделий. В этом случае выборочное наблюдение имеет целью профилактику брака, т. е. недопущение в дальнейшем процессе производства брака при его обнаружении или возможности его появления.

Таким образом, технологическая статистика, изучающая технический прогресс и статистические закономерности, наблюдаемые в технологических процессах, широко использует метод корреляции [11].