4.9 Планы для построения линейных и неполных квадратичных моделей

Линейная модель имеет вид:

Y = B₀ + ΣB_iX_i (4.60)

Для построения таких моделей целесообразно использовать полный факторный двухуровневый план типа 2^К, в котором реализуются все возможные сочетания двух уровней факторов «+1» и «-1» (где К – количество факторов). Число возможных сочетаний определяется количеством факторов и составляет N = 2^К. В таблице 5 представлены возможные сочетания уровней для двух факторов.

Для двух факторов, которые принимают в опыте по два значения, число сочетаний или опытов равно

N = 2² = 4 (4.61)

Таблица 5 - Полный факторный двухуровневый план типа 2^К

№ опыта	Х1	Х2
1	+1	+1
2	+1	-1
3	-1	+1
4	-1	-1

Таблица представляет собой матрицу планирования эксперимента: строки матрицы соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов.

Полный факторный план для всего количества факторов можно построить самостоятельно, переходя от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности путем увеличения числа факторов на единицу. При этом исходный план записывается дважды для каждого уровня нового фактора. Так, для построения плана 2³ используется план типа 2² (таблица 6).

Таблица 6 - Полный факторный трехуровневый план типа 2^К

№	Х1	Х2	Х3
1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1
3	-1	+1	+1
4	-1	-1	+1
5	+1	+1	-1
6	+1	-1	-1
7	-1	+1	-1
8	-1	-1	-1

Полные факторные эксперименты широко распространены вследствие простоты вычисления коэффициентов регрессии:

B₀ = Y_U (4.62)

Β_i = X_iuY_U (4.63)

где N – количество факторов;

Y_U – результаты эксперимента;

X_i - факторы;

U – строка плана.

Помимо простоты вычислений план обеспечивает получение независимых от Х оценок коэффициентов уравнения. Это значит, что исключение из уравнения любого коэффициента не приводит к изменению величин остальных коэффициентов. Это свойство оказывается полезным в том случае, когда нужно оценить степень влияния факторов на отклик без построения модели. Недостаток – перерасход материалов.

Неполные квадратичные модели. Линейная модель не всегда дает возможность описать с нужной точностью изучаемый процесс. В некоторых случаях дополнение линейного уравнения членами взаимодействия А_ij повышает его точность и позволяет получить работоспособную модель вида:

Y = b₀ + b_ix_i + b_ijx_ix_y (4.64)

Уравнение называется неполным квадратичным и может включать в общем случае не только парные взаимодействия, но и взаимодействия более высокого порядка, например, тройные: b_ijkx_ix_jx_k. Полные факторные планы позволяют вычислить все возможные взаимодействия факторов. Минимизация числа опытов достигается за счет дробных реплик типа 2^К-Р. Для того, чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь, тогда, значение нового фактора определяется знаками этого столбца.