Современный нормальные формы.

Задание функций алгебры логики ранее рассмотренными способами либо громоздко, либо часто неудобно для любых преобразований. Поэтому целесообразно в новой форме представлять следующие требования:

1. Удобство получения

2. Однозначность представления в этой форме любых функций алгебры логики

3. Простота преобразований и упрощений

Всем этим требованиям удовлетворяет С.Н.Д.Ф. и С.Н.К.Ф. С.Н.Ф. отличается от Н.ф. тем, что всегда содержит только термы max ранга и дает однозначное представление функции.

Полные системы функций алгебры логики.

Одни логические функции можно выражать через другие логические функции. Базис – полная система функции алгебры логики с помощью которой любая функция алгебры логики может быть представлена суперпозицией. Исходных функциональных базисов всего пять:

1. Система функций «и», «или», «не»

2. Система функций «и», «не»

3. Система функций «или», «не»

4. Система функций Шеффера

5. Система функций Пирса-Вебба

Из вышеперечисленного можно сделать выводы, что базисы могут быть избыточными и минимальными. Базис минимальный, если удаление хотя бы одной функции превращает систему функции алгебры логики в неполную. Проблема простейшего представления функций сводятся не только к выбору базиса, но и формы наиболее удобной для представления функции.

Базис 1 – избыточная система, так как возможно удаление из него некоторых функций. Используя законы Де-Моргана можно удалять функции «и» или «или».

Если сравнивать в смысле минимальности размера формы представления функции алгебры логики, очевидно Н.Ф. экономичнее С.Н.Ф., но Н.Ф. не дает однозначного представления.

Минимальная форма представления функций алгебры логики – форма представления функций алгебры логики, содержащая min количество термов и переменных в термах, т.е. min форма не допускает упрощений.

Числовое и геометрическое представление функций алгебры логики.

Часто для упрощения записи функций алгебры логики вместо полного перечисления термов используют номера наборов, для которых функция принимает единичное значение.

Например:

это означает, что функция принимает значения единицы на наборах номера которых равны 0,2,3. Такую форму записи называют числовой. Многие преобразования выполняемые над функциями алгебры логики удобно интерпретируются с использованием их геометрического представления.

Получается квадрат. Вершины – комбинации переменных. Из геометрического представления двух переменных следует: две вершины принадлежащие одному и тому же ребру, говорят оклеиваются по переменной, меняющейся вдоль ребра.

Для функции с тремя переменными геометрическое представление выполняется виде куба:

Ребро куба поглощает вершину, грань куба поглощает свои ребра, а следовательно и вершины.

Функция от четырех переменных представляется уже в виде четырехмерного куба.

В геометрическом смысле каждый набор переменных может рассматриваться, как n-мерный вектор, определяющий точку n-мерного пространства. Исходя из этого все множество наборов, на которых определяется функция n переменных представленная виде вершин n-мерного куба. Координаты вершин куба должны быть указанны в порядке, соответствующему порядку перечисления элементов записи функции. Отмечая вершины, функция в которых равна единицы, получаем геометрическое представление функции алгебры логики. Терм max ранга принято называть 0-кубом, это точка К⁰. Если два 0-куба из комплекса К⁰ различаются только по одной координате, то они образуют 1-куб – К¹. Если два 1-куба имеют общую независимую компоненту и различаются только по одной координате, то они образуют 2-куб. Для построения одномерного единичного куба берут два 0-куба (точки) и соединяют отрезком прямой. Двумерный куб (грань)

получается, если вершины двух I-кубов соединить параллельными отрезками. Трехмерный куб получается при соединении соответствующих вершин двух двумерных кубов отрезками диничной длины.