Системы счисления.
Системой счисления называют совокупность приемов и способов изображения чисел, с помощью ограниченного числа символов. Различают позиционные и непозиционные (символьные) системы счисления. В позиционной системе значение каждой цифры зависит от позиции в изображении числа. В непозиционных системах каждая цифра сохраняет свое значение, независимо от ее места в числе. Символьная система ввиду сложности выполнения операций в вычислительной технике практически не используется. В позиционных системах q единиц каждого разряда объединяют в одну единицу соседнего, более старшего разряда. В этом случае q называют основанием системы счисления. Оно определяет количество различных цифр, т.е. символов, использовавшихся для изображения числа, а номер позиции определяет вес единицы, расположенной в этой позиции и называется разрядом. Любое число N в некоторой q-ичной позиционной системе счисления может быть представлено в виде следующего полинома:
При записи числа знаки суммы и степени основания отбрасываются:
В вычислительной техники наиболее широко используется двоичная система счисления, реже восьмеричная и шестнадцатеричная. Широкое использование двоичной системы объясняется тем, что она имеет преимущества перед остальными по следующим причинам:
Простота воспроизведения каждой цифры с помощью элементов с двумя четко различающимися состояниями;
Экономичность, которая оценивается по количеству обозначений, пропорциональных числу разрядов, необходимых для отображения натурального ряда целых чисел в заданном диапазоне;
Простота выполнения операций;
Сходство с символикой алгебры логики, использованной для описания процессов анализа, синтеза систем и устройств вычислительной техники.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Правила перевода универсальны, отличаются только для различных видов чисел.
Правило перевода целых чисел.
Перевод целых числе осуществляется путем последовательного деления на числа на основания той системы, в которую переводят число. Деление выполняется по правилам той системы, из которой производится перевод. Вначале выполняется целочисленное деление целого числа, далее последних частных от деления. Деление производится до получение частного, меньше основания системы, в которую переводится число. Полученные остатки от деления, включая последнее частное, записать в обратном порядке. Полученное таким образом число и является запись числа в новой системе счисления.
Q=10 |
Q=2 |
Q=8 |
Q=16 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |