Лекция 14

Лекция № 14

Тема лекции:

Электроёмкость

Рассматриваемые вопросы:

1.Ёмкость уединѐнного проводника……………………………………………….1

2.Коэффициенты взаимной ѐмкости………………………………………………6

3.Конденсаторы……………………………………………………………………..8

4.Поляризация диэлектриков и вектор смещения……………………….....……16

5.Граничные условия для электрического поля……………………..……..……16

6.Энергия конденсатора…………………………………………………………..21

7.Энергия и плотность энергии электрического поля…………………………..26

1. ЁМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА

Если проводнику сообщить заряд, то он распределится по поверхности.

Заряд в объеме проводника в условиях равновесия равен нулю.

Распределение заряда по поверхности проводящего тела зависит от ее кривизны. Если поверхность плоская, то

увеличивается с увеличением кривизны; на вогнутых — меньше и уменьшается с увеличением отрицательной кривизны. Одновременно изменяется и напряженность электрического поля, создаваемого поверхностными зарядами

1

Этот эффект используется в науке и технике. Например, возможность увеличения электрических полей вблизи тел с большой кривизной (острий) используется в эмиссионных микроскопах, громоотводах, электростатических фильтрах для задымленных газовых сред и т. д.

При любом распределении заряда по поверхности проводника потенциал во всех его точках остается постоянным. Если процесс зарядки не деформирует проводник и не изменяет форму и расположение соседних тел, то каждая новая порция заряда распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей и можно записать:

ляющийся функцией координат рассматриваемой точки на поверхности проводника и изменяющийся при изменении расположения соседних тел.

Зависимость G от расположения соседних тел исчезает, если удалить эти тела на достаточно большое расстояние от рассматриваемого проводника. В таких условиях он называется уединенным.

Для уединенного шара, например,

2

Рассмотрим случай, когда уединенный проводник столь удален от окружающих тел, что эти тела не влияют на распределение зарядов на поверхности проводника, а, следовательно, и на его поле. Потенциал этого поля в

любой точке М поверхности S проводника создается зарядами, расположенными на всех других точках его поверхности (рис. 1).

Рис. 1 Согласно формулам для потенциала (См. л.3):

откуда следуют соотношения связи заряда и потенциала:

3

Выражение (2) показывает, что потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности С между зарядом q и потенциалом называется электрической емкостью

уединенного проводника.

Из выражения (3) видно, что электроемкость не зависит от заряда и потенциала уединенного проводника и всецело определяется его размерами, формой. Емкость проводника, погруженного в диэлектрическую среду, зависит также от ее диэлектрической проницаемости.

Электроемкость уединенного проводника — мера его способности накапливать электрический заряд. Чем больше электроемкость проводника, тем больший заряд удерживает проводник при заданном .

Электроемкость измеряется зарядом, который повышает потенциал проводника на единицу. Математическое определение электроемкости вытекает из выражения (2):

Выражение (5) получается дифференцированием выражения (4) с учетом условия С = const.

4

Выражение (5) служит также для введения единицы измерения электроемкости. В системе СИ за единицу электроемкости принимается емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении проводнику заряда в 1 Кл. Эта единица называется фарадом. Размерность электроемкости равна [С] = Кл/В. Часто используются также доли фарада: микрофарад (10-6 Ф) и пикофарад (10-12 Ф).

Из (5) видно, что для вычисления емкости уединенного проводника достаточно заряд проводника разделить на его потенциал, выраженный через заряд. Например, рассмотрим емкость шара. Потенциал уединенного проводящего шара на его поверхности равен

C 4 0 R0 .

5

2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЗАИМНОЙ ЁМКОСТИ

Вокруг не уединенного проводника имеются другие тела. Пусть окружающие проводники вместе с первым образуют систему N тел. Все тела имеют собственные или индуцированные заряды qi (i = 1, 2, ...N).

Потенциалы полей рассматриваемых тел, складываясь, дают в любой точке пространства потенциал результирующего поля. Этот вывод справедлив и в

пропорциональны зарядам q1, q2 , qN , что по аналогии с выражением (2) можно записать в виде:

(6)

коэффициентами емкости, а при i j — коэффициентами взаимной емкости.

том, что они отражают взаимное влияние тел на потенциалы друг друга за счет электростатической

6

симметричны относительно своих индексов. Все коэффициенты Ctj не зависят от qi и i ; и полностью

определяются размерами, формой и взаимным расположением тел.

Если взаимное влияние тел ослабевает, например, из-за увеличения расстояния между ними, то коэффициенты

проводников в условиях их полной уединенности, т. е.

7

3. КОНДЕНСАТОРЫ

В различных электрических цепях часто бывают необходимы элементы с большой и не зависящей от расположения окружающих тел электроемкостью.

Устройства, имеющие благодаря специальному расположению и форме составляющих проводников большую, не зависящую от окружающих тел электроемкость, называются конденсаторами.

Составляющие конденсатор проводники называются обкладками. Например, в плоском конденсаторе обкладками служат близко расположенные плоские пластины.

Окружающие тела не влияют на электроемкость конденсатора потому, что поле заряженного конденсатора практически полностью сосредоточено между его обкладками и не может электризовать внешние тела, а поля внешних тел не проникают в пространство между пластинами конденсатора из-за их экранирующего действия.

В переменных конденсаторах предусмотрено контролируемое изменение емкости путем взаимного перемещения обкладок или изменение диэлектрической проницаемости среды между обкладками.

Процесс зарядки конденсатора состоит в переносе заряда c одной обкладки на другую. Поэтому в заря-

8

женном конденсаторе заряды на его обкладках равны по величине и противоположны по знаку.

Заряд на обкладках создает электрическое поле с разностью потенциалов между обкладками U , где U

— напряжение между обкладками.

Заряд q, повышающий разность потенциалов между обкладками конденсатора на единицу, определяет его электроемкость.

Из выражения (7) видно, что для определения емкости конденсатора необходимо выразить напряжение между обкладками U через заряд q на обкладках и по формуле (7) найти С. Например, напряжение между обкладками плоского конденсатора равно

-напряженность поля между обкладками, S - их площадь, d - расстояние между ними, — поверхностная плотность заряда на обкладках.

9

Следовательно, емкость плоского конденсатора равна

(8)

Вэлектрических цепях конденсаторы могут включаться

вбатареи, состоящие из нескольких параллельно или последовательно соединенных конденсаторов (рис. 2, а, б). Возможно также комбинирование этих двух типов соединений конденсаторов.

Рис. 2

При параллельном соединении напряжение на всех конденсаторах батареи одинаково и равно U, а общий

10