Лекция 14

6. ЭНЕРГИЯ КОНДЕНСАТОРА

Рассмотрим систему точечных зарядов, непрерывно распределенных зарядов, заряженных проводников.

Напомним определение энергии взаимодействия.

Энергией взаимодействия называется вид энергии, присущий системе взаимодействующих частиц, за счет которой совершается работа при взаимных перемещениях этих частиц.

Энергия взаимодействия зависит от закона взаимодействия между частицами и от их взаимного расположения. В количественном отношении эта энергия принимается равной работе, совершаемой силами взаимодействия при разнесении всех частиц системы на бесконечные расстояния друг от друга.

Если частиц две, и энергию каждой в поле другой обозначить соответственно W12 и W21, то очевидно,что W12 = W21 = Wp. Поэтому выражения для потенциальной энергии взаимодействия двух частиц можно представить в симметричной форме Wp = 0,5 (W12 + W21). Следовательно, для энергии взаимодействия системы многих частиц можно записать:

где Wpi – потенциальная энергия i -й частицы в полях всех

остальных частиц системы. Сумма берется по всем частицам системы.

21

Энергия взаимодействия системы зарядов называется электрической энергией этой системы.

Рассмотрим систему взаимодействующих точечных зарядов. Тогда формула (11) с учетом определения потенциала примет вид:

Представим объем разбитым на малые элементы dV, каждый из которых может рассматриваться как точечный заряд величиной dq q dV . Тогда заряженный объем V

можно рассматривать как систему бесконечно большого числа бесконечно малых точечных зарядов и применить к нему соотношение (12) с заменой в нем суммы на интеграл:

(13)

Применение такого же подхода к заряду, непрерывно распределенному по поверхности S с поверхностной плотностью , приводит к очевидному результату для электрической энергии:

22

Теперь рассмотрим заряженный проводник.

Напомним, что внесенный на проводник заряд распределяется только по его поверхности, и все точки этой поверхности имеют одинаковые потенциалы. Отсюда следует, что электрическая энергия заряженного проводника выражается формулой (14), в которой надо принять const :

формулу (16) можно написать еще в двух тождественных вариантах:

23

бесконечности, где потенциал равен нулю, на проводник,

зарядов. Работа при перемещении dq' выражается как

Работа при полной зарядке до заряда q получается

порций заряда dq' с одной обкладки на другую. Тогда первоначально нейтральные обкладки заряжаются равными по величине и противоположными по знаку зарядами, и потому имеет место формула

Работа внешних сил при переносе очередной порции dq выражается в виде:

(22)

24

где U' — напряжение, созданное ранее перенесенными зарядами. Проинтегрировав это выражение, получим формулы для энергии конденсатора:

(23)

25

7. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Рассчитаем электрическую энергию заряда, непрерывно распределенного по объему. Предположим, что заряд равномерно распределен в сферической области пространства радиуса R с объемной плотностью q .

Рассмотрим в этой области бесконечно тонкий сферический слой радиуса r и толщиной dr (рис. 3).

Рис. 3 В силу симметрии все элементы этого слоя находятся в

одинаковых условиях и поэтому в качестве элементов объема, по которым берется интеграл в (3) и энергия которых представлена подынтегральным выражением в этом интеграле, следует выбрать именно такие сферические слои. Тогда

dV 4 r2dr .

Потенциал r в равномерно заряженной области радиуса R, был определен ранее и выражается формулой:

(24)

Подставив эти выражения в (3), после взятия интеграла, получим электрическую энергию заряженной области:

(25)

26

Рассмотрим заряженный плоский конденсатор. Его электрическая энергия выражается формулами (13), а электроемкость — формулой

где S — площадь обкладок, a d — расстояние между обкладками. Если это расстояние значительно меньше размеров обкладок, электрическое поле в конденсаторе можно считать однородным. Тогда соотношение

где V=Sd — объем, в котором сосредоточено электрическое поле плоского конденсатора.

Следовательно, электрическая энергия конденсатора может быть выражена двумя различными способами. Вопервых, она может быть выражена через заряды на

обкладках (13)

Wp = q2/2C.

При таком подходе эта энергия выступает как энергия зарядов и потому ее носителями являются электрические заряды.

27

Во-вторых, эта же энергия может быть выражена через напряженность электрического поля между обкладками (18).

При таком подходе в роли носителя электрической энергии выступает поле, по объему которого V и распределена эта энергия. Такая точка зрения называется полевой концепцией электрической энергии.

В рамках этой концепции первый множитель в (13) имеет смысл энергии, заключенной в единице объема однородного поля и называется объемной плотностью энергии электрического поля.

Будучи умноженной на объем V однородного поля в конденсаторе эта величина дает полную энергию поля, т. е. энергию конденсатора с позиций полевой концепции.

(29)

Обратим внимание на различие математических подходов при расчѐтах энергии с позиций двух рассмотренных концепций. В рамках первой концепции электрическая энергия выражается как

(30)

причем интеграл берется по объему V*, заполненному зарядами.

28

и интеграл берется по объему поля, созданного данным распределением зарядов.

В электростатике обе концепции электрической энергии равноправны, и в принципиальном отношении ни одной из них нельзя отдать предпочтение. Это обусловлено тем, что электростатические поля создаются только неподвижными зарядами и потому носители энергии в обеих концепциях

— заряды и поля — существуют всегда совместно и взаимосвязаны между собой основными законами электростатики, выраженными, например, уравнением Пуассона.

Поэтому, несмотря на формальное различие математических подходов (20) и (21), обе концепции всегда приводят к одинаковым результатам; на практике пользоваться можно любой из них.

Заметим, однако, что если в решаемой задаче требуется найти не только полную энергию электростатической системы, но и ее составные части в разных областях пространства, то такая задача может быть решена только на основе полевой концепции.

Положение изменяется при переходе к переменным полям. Такие поля могут существовать без зарядов и распространяться в пространстве в виде электро-

29

магнитных волн. Естественно, что в таких условиях физический смысл имеет только полевая концепция.

Электростатику можно рассматривать в качестве предельного случая электродинамики. Поэтому и в электростатике следует в принципиальном плане отдавать предпочтение полевой концепции энергии электрического поля.

_ _ _ _ _

30