Свойства элементарных функций алгебры логики.

Из таблицы для функции двух переменных видно, что элементарные функции типа отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, Шеффера, Пирса и т.д. находятся в связи друг с другом. Посмотрим эти связи и свойство этих исходных функций.

Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание (и, или, не). Используя основные положения алгебры логики можно убедиться в справедливости следующих аксиом

1. , что означает возможность исключения из логического выражения всех членов имеющих двойное отрицание, заменив их исходной величиной.

2. x+x=x; x*x=x эти преобразования позволяют сократить длину логических выражений.

3. х+0=х

4. х+1=1

5. х*0=0

6. х*1=х

7. 

Дизъюнкция и конъюнкция обладают рядом свойств, аналогично свойствам обычных арифметических операций сложения и умножения. А именно:

1. Свойства ассоциативности или сочетательный закон:

2. Свойства коммутативности, переместительный закон:

3. Свойства дистрибьютивности или распределительный закон:

а) Для конъюнкции относительно дизъюнкции:

б)Для дизъюнкции относительно конъюнкции:

Это свойство фактически определяет правило раскрытия скобок или взятия в скобки логических выражений.

Законы Де-Моргана.

Несложно установить правильность следующих соотношений:

Из этого закона вытекает, что и . С помощью этих соотношений появляется возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание или наоборот.

Законы Де-Моргана справедливы для любого числа переменных, т.е.

Для логической функции устанавливается соотношения известные как законы поглащения:

1) 2)

х1	х2	х1+х2	х1х2	х1+(х1х2)	х1(х1+х2)
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	0 0 0 1	0 0 1 1	0 0 1 1

Сложение по модулю два.

Эта функция выражается следующим образом:

Функция сложения по модулю два обладает свойствами:

1. Свойство коммутативности, переместительный закон:

2. Свойства ассоциативности:

3. Свойства дистрибьютивности или распределительный закон:

Для этой функции справедливы следующие аксиомы:

На основании аксиом и свойств можно вывести правила перевода функций «и», «или»,

«не» через функцию сложения по модулю два и наоборот:

Функция импликации.

Это функция выражается следующим образом:

Для функции импликации справедливы аксиомы:

Из этих аксиом следует, что импликация обладает только свойствами коммутативности, но в несколько измененном виде:

Функции «и», «или», «не» через импликацию выражаются:

Функция Шеффера.

Это функция, которая может быть выражена:

Для нее характерны аксиомы:

Для функции Шеффера справедливо только свойство коммутативности, т.е.:

Из этих аксиом и свойств можно получить формулу преобразования функции «и», «не», «или» через функцию Шеффера:

Функция Пирса-Вебба.

Это функция описывается следующем выражением:

Для этой функции справедливы аксиомы:

Эта функция обладает только свойством коммутативности:

Функция «и», «или», «не» через функцию Пирса-Вебба выражается следующим образом:

Арифметическое представление функций алгебры логики.

Существует много способов задания логических функций. Ранее рассматривали табличный способ, при котором каждому набору значений в таблице истинности указывается значение самой логической функции. Этот способ показателен и может быть применен для записи функций от любого числа переменных, однако при анализе связей функций алгебры логики такая запись не компактна. Проще выглядит аналитическая запись в виде формул.

Рассмотрим фиксированный набор переменных на котором заданна функция алгебры логики, а так как любая переменная, принимающая значения 1 или 0, то набор значений переменных фактически представляет собой некоторое двоичное число. Представим, что номером набора будет некоторое двоичное число i, которое получается:

И пусть имеется какая-то f(i) { x₁,x₂,…,x_n } которая равна 0, если номер набора равен 1 и равна 1, если номер набора не равен i

f(i)={	0	Терм
	1

Дизъюнктивный терм или max терм - это терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсионной форме знаком дизъюнкции (константа нуля).

Конъюнктивный терм или min терм – это терм, связывающий переменные представленные в прямой или инверсионной форме знаком конъюнкции(константа единицы)

R=4	R=2

R – ранг терма, определяется количеством переменных, входящих в данный терм.

На основании вышесказанного можно сформулировать теоремы:

1. Любая таблично заданная функция алгебры логики может быть представлена аналитическим способом в виде:

номер набора на котором F=1

Н.Д.Ф. (Нормальная дизъюнктивная форма) – объединение термов, включающих min термы переменного ранга.

2) Любая таблично заданная функция алгебры логики может быть представлена аналитическим способом в виде:

К – количество двоичных наборов при которых F=0

Н.К.Ф. (Нормальная конъюнктивная форма) – объединение термов, включающих в себя max термы различных рангов.

Пример:

Записать в аналитическом виде функцию заданную в таблице:

X1	X2	X3	F(x1,x2,x3)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Н.Д.Ф. F(x₁,x₂,x₃)=F(0,0,0)+F(0,1,1)+f(1,0,0)=