2.2. Краевые углы. Условия равновесия на границе жидкости и твердого тела

Пусть некоторый объем жидкости помещен на поверхность твер­дого тела. Форма, которую в этом случае принимает жидкость, опреде­ляется соотношением трех действующих на жидкость сил: силы тяжести, сил взаимодействия молекул жидкости и сил взаимодействия между частицами жидкости и частицами твердого тела, с которым она контактирует. Характеристикой соотношения двух последних из перечисленных сил служит краевой угол Θ, т.е. угол, образованный каса­тельной к поверхности жидкости у ее границы с твердым телом и по­верхностью твердого тела.

Пусть жидкость 2 (рис. 2) граничит с плоской поверхностью твердого тела 1. Величина краевого угла определяется из условия равновесия: сумма проекций сил, приложенных к любому элементу длины линии соприкосновения трех сред 1, 2, 3, должна равняться нулю. Тогда

Рис. 2. Схема равновесного положения жидкости на поверхности твердого тела, случай частичного смачивания; угол между σ₂₃ и σ₁₂ равен Θ.

Откуда

(4)

Если , т.е. Θ = 0, то жидкость растекается тонким слоем по поверхности твердого тела (например, вода на чистом стекле). Это явление называется полным смачиванием.

Случай, когда Θ = π (когда ) соответствует полному несмачиванию твердого тела жидкостью (вода на парафине).

В большинстве случаев имеет место частичное смачивание (0 < Θ < π/2, рис. 3а) или частичное несмачивание (π/2 <Θ < π, рис. 3б).

а б

Рис. 3. Схемы частичного смачивания (а) и частичного несмачивания (б) жидкостью твердого тела.

Явление краевого угла наблюдается у стенок сосудов, когда в них налита жидкость. Образуется мениск, вогнутый у смачивающих жид­костей и выпуклый у несмачивающих. Величина краевого угла здесь также определяется формулой (4).

2.3. Формула Лапласа.

Во многих случаях поверхность жидкости оказывается искривленной. Кривизна поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих на жидкость под этой поверхностью. Представим себе сферическую каплю жидкости с радиусом сферы r. При увеличении (или уменьшении) радиуса сферы растет (или уменьшается) площадь ее по­верхности, а вместе с ней увеличивается (или уменьшается) поверхност­ная энергия. Ясно, что это может быть достигнуто только ценой затра­ты работы, которая производится силами, действующими в самой кап­ле. Следовательно, объем жидкости под сферической поверхностью всегда несколько сжат, т.е. испытывает дополнительное давление, на­правленное радиально. Из этих соображений можно вычислить и ве­личину этого дополнительного давления, связанного с кривизной по­верхности.

Пусть под действием этого давления жидкий шар уменьшит свой объем на dV. Работа сжатия жидкости произведена, очевидно, за счет уменьшения поверхностной энергии, то есть

.

Работа сжатия равна:

dA = PdV . (5)

Уменьшение поверхностной энергии:

dψ = σ dS,

где dS - уменьшение поверхности шара, соответствующее уменьшению радиуса на dr. Известно, что для шара площадь поверхности и объем равны, соответственно,

Тогда

Подставляя dS и dV в формулу (5), получаем:

Если поверхность цилиндрическая, то дополнительное давление, вызванное кривизной, определяется формулой:

В общем случае поверхности любой формы давление, обуслов­ленное кривизной поверхности, выражается уравнением Лапласа

(6)

где и - главные радиусы кривизны для данного элемента поверх­ности.

Дополнительное давление, определяемое формулой Лапласа, на­правлено к центру кривизны поверхности. Поэтому в случае выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нор­мальному давлению жидкости. В случае же вогнутой поверхности жид­кость будет находиться под давлением меньшим, чем та же жидкость под плоской поверхностью. Математически это соответствует тому, что радиус кривизны для вогнутой поверхности, когда центр кривизны на­ходится вне жидкости, считается отрицательным, а для выпуклой по­верхности - положительным.

Дополнительное давление Лапласа, направленное перпендику­лярно поверхности, возникает в результате действия сил поверхностно­го натяжения, искривляющих поверхность жидкости.