5. Контрольные вопросы.

1. Какие вам известны механизмы теплопередачи? Приведите примеры. 2. Дайте определение коэффициента теплопроводности.

3. Каков физический смысл величин, входящих в уравнение теплопроводности?

4.Почему опытные хозяйки предпочитают жарить на чугунных сковородах, а не на алюминиевых?

5. Почему металлические предметы, находящиеся в комнате, на ощупь кажутся холоднее, чем деревянные?

6. Один конец стержня, заключенного в теплоизолирующую оболочку поддерживается при температуре , а другой - при температуре . Сам стержень состоит из двух частей, длины которых l₁ и l_{2 ?} коэффи­циенты теплопроводности χ₁ и χ_2. Найти температуру поверхности соприкосновения этих частей стержня.

7. Найти распределение температуры в пространстве между двумя ци­линдрами с радиусами R₁ и R₂, заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров постоянны и равны соответственно Т₁ и Т₂.

8. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для двух концентрических сфер с радиусами R₁ и R₂ и температурами Т₁ и Т₂.

9. Найти распределение температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами, если последние поддерживаются при температурах Т₁ и Т₂, расстояние между ними l и коэффициент теплопроводности веществ χ = √Т.

10. Каков механизм теплопередачи в твердых телах, жидкостях и газах?

Лабораторная работа 3-2 определение коэффициента линейного расширения твердого тела

1. Цель работы

Ознакомление с явлением теплового расширения твердых тел и с методикой определения значений коэффициентов линейного расширения твердых тел.

2. Теоретические пояснения

Опр. Явление изменения размеров тел при их нагревании называют тепловым расширением.

Причина этого явления состоит в следующем. Потенциальная энергия взаимодействия пары соседних атомов в твердом теле в зависимости от расстояния между ними определяется графиком, изображенным на рис. 1.

Точка r₀ на рис.1 соответствует равновесному расстоянию между взаимодействующими атомами; энергия взаимодействия при этом равна U₀ и является минимальной из возможных для них энергией. Величина U₀ характеризует глубину потенциальной ямы.

U

r₀

0 r

U₀

Рис. 1. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух атомов от расстоянии r между ними.

При любом отклонении атомов от положения равновесия энергия их взаимодействия возрастает и возникает сила F, стремящаяся возвратить их в прежнее положение. Причем при r > r₀ между атомами действует сила притяжения

F = - (dU/dr) < 0,

а при r < r₀ – сила отталкивания

F = - (dU/dr) > 0.

При любой температуре атомы в твердом теле совершают тепловые ко­лебания относительно положения равновесия. При этом каждый атом находится не на дне потенциальной ямы, а на определенном квантовом уровне U_n > U₀ (n = l, 2, 3……. ).

Приближенно можно считать, что, на­пример, равновесное положение r_0n атома на уровне U_n соответствует середине отрезка r_n^I r_n^II (рис. 2). Повышение температуры приводит к переходу атома на более высокий уровень U_m, U_k,….

U

r_n^I r₀r_0n r₀^k r_n^II r

U_k

U_n

U_o

Рис.2. График, характеризующий изменение среднего расстояния между атомами с изменением их энергетического состояния.

Из рисунка 2 видно, что вследствие несимметричности потенциальной ямы точки равновесия смещаются вправо, что соответствует увеличению расстояния между атомами, т.к. r_0k > r_0n > r₀.

Колебания в потенциальной яме такого вида являются ангармоническими, поскольку потенциальная энергия взаимодействия не является квадратичной функцией x, а представляется в виде ряда:

U = -U₀ + ax²/2 - bx³/3 +…, (1)

где x = r – r₀ – смещение атома от положения равновесия.

Действительно, гармонические колебания, как известно, происходят под действием силы, пропорциональной смещению

F = - ax . (2)

Для (1) же имеем:

F = dU/dx = - ax + bx²… (3)

То есть в разложении (3) присутствуют нелинейные члены.

Если бы колебания происходили по гармоническому закону (2), то энергия взаимодействия U была бы квадратичной функцией от x:

(4)

и, как видно из рисунка 3, при переходе атома на более высокий уровень (что соответствует нагреванию твердого тела) увеличения равновесного расстояния не было бы.

U r_o r

U_m

U_n

U_o

Рис. 3. График зависимости среднего расстояния между атомами в случае их гармонического колебания.

Таким образом, необходимым условием теплового расширения твердых тел является ангармонизм колебаний атомов, который и наблю­дается в асимметричной потенциальной яме.

Различают линейное тепловое расширение (изменение линейных размеров тела) и объемное тепловое расширение (изменение объемов тела). Первое характеризуется коэффициентом линейного расширения α, второе – коэффициентом объемного расширения β.

Опр. Коэффицент линейного расширения α твердого тела определяют величиной, численно равной относительному удлинению тела dl/l при повышении его температуры на 1 градус.

(5)

Вообще говоря, величина α зависит от температуры. При низких температурах, когда уровни низки и потенциальную кривую (рис. 1) можно аппроксимировать параболой (рис. 3), т.е. в разложении (1) членами третьего и выше порядков можно пренебречь, коэффициент линейного расширения близок к нулю. При повышении температуры он возрастает. Если интервал исследуемых температур невелик (до нескольких десятков градусов), то величину α с некоторой точностью можно считать постоянной для этого интервала.

Опр. Коэффициент объемного расширения β равен относительному изменению объема тела dV/V при повышении его температуры на 1 градус.

(6)

Для анизотропных кристаллов коэффициент линейного расширения различен для различных направлений. Это ведет к тому, что, расширяясь, кристалл меняет свою форму.

Из формул (5) и (6) следует, что длина тела l_Т и объем тела V_Т при некоторой температуре, отличной от начальной на ∆T, выражается (при малом ∆T) формулами:

l_Т= l₀(1+ α ∆T) и V_Т = V₀(1+ β ∆T),

где l₀ и V₀ – начальные длина и объем тела.

Коэффициенты объемного и линейного расширения практически остаются постоянными, если интервалы температур, в которых они измеряются, малы, а сами температуры высокие.