Формула Байєса

До сих пір ми розглядали ймовірність подій до проведення дослідів, тобто в комплексі умов не враховувався результат проведеного досліду. Поставимо тепер таку задачу: маємо повну групу несумісних гіпотез Н_1, Н₂, ..., Н_n. Відомі ймовірності гіпотез Р(Н₁)_, Р(Н₂), ..., Р(Н_n) в результаті досліду відбулася подія А. Відомі умовні ймовірності Р(А/Н₁), Р(А/Н₂), ..., Р(А/Н_n).

Виникає питання, яким чином зміняться ймовірності гіпотез у зв’язку з появою події А, тобто треба знайти умовні ймовірності Р(Н₁/А), Р(Н₂/А), ..., Р(Н_n/А).

З теореми множення ймовірностей маємо Р(АН_і)=Р(А)Р(Н_і/А)=Р(Н_і)Р(А/Н_і).

Звідси, Р(Н₁/А)= ,

або

	Р(Ні/А)= , (і=1,2,...,n) – ця формула називається формулою Байєса

Задача. Прилад може бути зібраний з високоякісних деталей або зі звичайних. 40% приладів зібрані з високоякісних деталей. Надійність приладу з високоякісних деталей 0,95, зі звичайних 0,7. прилад протягом часу t працював безвідмовно. Знайти ймовірність того, що:

1) прилад виготовлений з високоякісних деталей;

2) прилад виготовлений зі звичайних деталей.

Розв’язання. Гіпотези: Н₁ – прилад виготовлений з високоякісних деталей,

Н₂ – прилад виготовлений зі звичайних деталей.

Р(Н₁)=0,4 (40%); Р(Н₂)=0,6 (60%).

Відбулася подія А – прилад безвідмовно працював протягом часу t. Ймовірність того, що прилад з високоякісних деталей буде працювати невідмовно, іншими словами надійність приладу, дорівнює Р(А/Н₁)=0,96. Надійність приладу зі звичайних деталей Р(А/Н₂)=0,7.

За формулою Байєса знаходимо ймовірність того, що прилад був виготовлений з високоякісних деталей Р(Н₁/А)= = ==0,475.

Аналогічно, знаходимо ймовірність того, що прилад виготовлений зі звичайних деталей Р(Н₂/А)= =0,525.

Послідовності незалежних випробувань

І. Нехай неодноразово повторюється деякий дослід при однакових умовах. В результаті кожного досліду подія А може відбутися або не відбутися.

Нас цікавить ймовірність загального числа появи події А в серії дослідів. Наприклад, команда волейболістів провела 10 ігор. Яка ймовірність того, що вона виграла 6 ігор.

Будемо розглядати незалежні випробування, тобто такі, що ймовірність результату кожного випробування не залежить від результатів інших випробувань.

Отже, проведено n незалежних випробувань. В кожному випробуванні подія А може відбутися або не відбутися. Ймовірність появи події А в одному досліді дорівнює р. Ця ймовірність однакова в кожному досліді. Ймовірність того, що подія А не відбудеться дорівнює q (q=1-р). Треба знайти ймовірність Р_m,n того, що в n випробуваннях подія А настане (відбудеться) m раз.

Позначимо через: В_m,n подію, яка полягає в тому, що подія А відбудеться m раз в n дослідах; А_і – поява події А в і-тому досліді, – неповна подія А в і-тому досліді.

Запишемо подію В_m,n у вигляді суми добутків подій А_і і .

В_m,n=А₁А₂... А_m ... +...+

Число доданків тут дорівнює числу комбінацій з n елементів. Доданки є несумісними подіями. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Крім того випробування незалежні. Тому ймовірність подій В_m,n можна записати так:

Р(В_m,n)=р^mq^n-m+…+p^mq^n-m; Р(В_m,n)= ; Р(В_m,n)= ;

	Рm,n= – ця формула називається формулою Бернуллі.

Ймовірність Р_m,_n дорівнює коефіцієнтові при х^m в розкладанні бінома (q+px)ⁿ за степенями х, тому ймовірності Р_m,n (m=1, 2, ..., n) називаються біноміальним розподілом ймовірностей.

Приклад. Що є більш ймовірним, виграти у рівносильного гравця 3 партії з 4, чи 5 з 8.

Розв’язання. Дослід – одна партія із супротивником. Подія А – виграш у супротивника. Оскільки гравці рівносильні, то ймовірність виграшу однієї партії дорівнює .

Р_3,4=

Р_5,8=

Отже, Р_3,4> Р_5,8

Очевидно, що Р_0,n+Р_1,n+…+P_n,n=1.

II. Тепер розглянемо такий випадок, коли ймовірність появи події А змінюється при проведенні n випробовувань.

Отже, нехай проводимо n випробувань. Ймовірність появи події А в і-тому випробуванні дорівнює р_і, не появи – q_i=1-p_i.

Знайти ймовірність появи події А m раз в n випробовуваннях Р_m,n.

Ймовірність Р_m,n дорівнює коефіцієнтові при х^m в добутку (q₁+p₁x)(q₂+p₂x)…(q_n+p_nx).

Задача. Чотири стрільці роблять по одному пострілові в мішень. Ймовірність влучення в мішень для 1-го стрільця р₁=0,8; для 2-го стрільця р₂=0,7; для 3-го стрільця р₃=0,6; для 4-го стрільця р₄=0,5. Знайти ймовірність того, що

1) в мішень не влучить жоден стрілець;

2)влучить тільки один стрілець;

3) влучать два стрільці;

4) влучать тільки три стрільця;

5)влучать усі стрільці;

6) влучить хоча б один стрілець;

7) влучать не менше ніж два стрільця.

Розв’язання. Оскільки ймовірність влучення для стрільців різні, то скористаємось останньою формулою при q₁=1-0,8=0,2; q₂=0,3; q₃=0,4; q₅=0,5.

(0,2+0,8х)(0,3+0,7х)(0,4+0,6х)(0,5+0,5х)=0,012+0,106х+

0,32х²++0,394х³+0,168х⁴.

Відповідь: 1) Ймовірність того, що в мішень не влучить жоден стрілець Р_0,4=0,012.

2) Ймовірність того, що влучить тільки один стрілець Р_1,4=0,106.

3) Р_2,4=0,32.

4) Р_3,4=0,394.

5) Р_4,4=0,168.

6) Р_1,4+ Р_2,4+ Р_3,4+ Р_4,4=0988=1- Р_0,4=1-0,012=0,988.

7) Р_2,4+ Р_3,4+ Р_4,4=1-Р_0,4-Р_1,4=0,882.