Властивості функції щільності розподілу:

1. f(x)0, тому що f(x) є похідною неспадної функції.

2. =1, тому що ймовірність влучення випадкової величини на всю пряму Ох дорівнює 1.

Приклад. Функція розподілу неперервної випадкової величини задана виразом

F(x)=

Знайти: 1) Щільність розподілу f(x);

2) Коефіцієнт а;

3) Ймовірність влучення випадкової величини на проміжок від 0,25 до 0,5.

Розв’язання.

1. Ймовірність попадання випадкової величини на вісь Ох дорівнює 1.

а=1.

Запишемо функцію F(x) при а=1.

F(x)=

2) f(x)=F(x) f(x)= f(x)=

y

1 y=F(x)

2

y=2x

1

x

0 1 0 1

3) P(0,25X<0,5)= =0,1875.

Числові характеристики випадкової величини

Знаючи закон розподілу випадкової величини, можна вказати, де розташовані можливі значення випадкової величини і яка ймовірність її появи в тому чи іншому інтервалі. В багатьох практичних питаннях немає необхідності характеризувати випадкову величину, задаючи закон розподілу.

Часто буває достатньо вказати число біля якого розташовані інші значення випадкової величини, а також вказати число, що характеризує степінь розкиданості значень випадкової величини. Такі числа називаються числовими характеристиками випадкової величини.

Математичним сподіванням М[X] випадкової величини називається число, що обчислюється за формулою:М[X]= , якщо Х дискретна величина

і за формулою М[X]= , якщо Х неперервна випадкова величина.

Математичне сподівання позначається ще символом m_x.

Приклад. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу

хі	-2	-1	0	1	2	3
рі	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

Знайти М[X].

М[X]= =(-2)·0,1+(-1)·0,1+0·0,2+1·0,3+2·0,2+3·0,1=0,7

0,7

х

-2 -1 0 1 2 3

Приклад. Неперепвна випадкова величина Х задана щільністю розподілу

f(x)=

Знайти М[X].

М[X]= =

Математичне сподівання не є серединою проміжку на якому розкидані значення випадкової величини. Воно посунуто в ту сторону, де щільність розподілу випадкової величини більше.

Якщо провести велику кількість дослідів, то середнє арифметичне значення величини буде приблизно дорівнювати математичному сподіванню.

Властивості математичного сподівання:

1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій сталій величини, тобто М[C]=C.

2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання М[СХ]=С·М[Х]

Доведення. М[СХ]= .

Для неперервної випадкової величини доведення аналогічне.

Основними характеристиками розсіяння випадкової величини навколо математичного сподівання є дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

x-m_x

x

m_x x

При означенні цих характеристик використовуємо величини x-m_x. Ця величина x-m_x називається центрірованою випадковою величиною.

Математичне сподівання центрірованої випадкової величини дорівнює нуль.

М[ ]= =

=

Дисперсію випадкової величини Х називається величина, яка обчислюється для дискретних випадкових величин за формулою

D[X]= ,

а для неперервних – за формулою

D[X]= .

Дисперсія характеризує розсіяння випадкової величини.