Формула Пуассона (теорема Пуассона)

Якщо число випробувань n велике, а ймовірність р появи події А в одному досліді мала, то для обчислення ймовірності того, що подія А відбудеться m раз можна скористатися формулою Пуассона.

ТЕОРЕМА ПУАССОНА. Якщо число дослідів n і ймовірність події в одному досліді р0 так, що np=, о<<, то Р_m,n= при будь-якому m=0, 1, …, n.

Отже, при великих n і малих р можна скористатися формулою Р_m,n .

Задача. В ціль проводять 50 незалежних пострілів. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,04. знайти ймовірність того, що в ціль попаде: а) жодного снаряда; б) один снаряд; в) два снаряда; г) не менше ніж два снаряда.

Розв’язання. l=np=500,04=2.

a) m=0; P_0;50= , де е=2,71828183…2,72.

б) m=1; P_1;50= =0,27127%.

в) m=2; P_2;50= =0,27127%.

г) m2; P_m2;50=1-P_0;50-P_1;50=1-0,135-0,271=0,594»60%.

Випадкова величина

В теорії ймовірностей найважливішим об’єктом вивчення є поняття випадкової величини.

Випадковою величиною називається величина, яка в результаті досліду (експерименту) може приймати те чи інше числове значення, але тільки одне, причому до проведення досліду невідомо яке саме.

Приклади:

1. Дослід: підкидання іграшкового кубика.

Випадкова величина X – число очок, що випали. Випадкова величина X може приймати значення: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2. Явище: народження дитини.

Випадкова величина X – число народжених хлопчиків серед 100 новонароджених; X може приймати значення 0, 1, 2, ..., 100.

3. Дослід: Вимірювання температури повітря о сьомій годині ранку у жовтні місяці.

Випадкова величина X – температура повітря може приймати значення в інтервалі (-20^; +25^).

Випадкові величини позначатимемо X, Y, Z, …, а їх конкретні значення малими літерами x, y, z, ...

Дискретною випадковою величиною називається така величина, для якої число можливих значень є або скінчена множина, або нескінчена зчислена множина.

Приклади:

1. Х – число бракованих виробів в партії виробів з n штук Х={0, 1, 2, ..., n}.

2. Х – число викликів, що поступають на телефонну станцію протягом доби Х{0, 1, 2, ...}.

Неперервною випадковою величиною називається така величина, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал числової осі.

Приклади:

1. Х – час безвідмовної роботи радіолампи.

2. Х – помилка, що допущена при вимірюванні деякої величини.

3. Х – відстань, яку ви зможете пройти за оди день.

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини

Нехай дискретна випадкова величина Х в результаті досліду прийняла одне з можливих значень х₁, ..., х_n. При повторенні дослідів одні з цих значень можуть з’являтися частіше, інші рідше. Іншими словами дискретна випадкова величина приймає значення х₁ з ймовірністю р₁, х₂ з ймовірністю р₂, ..., х_n з ймовірністю р_n.

Події: дискретна випадкова величина прийняла значення х₁;

дискретна випадкова величина прийняла значення х₂;

і т. д. ...;

дискретна випадкова величина прийняла значення х_n складають повну групу подій.

Тому, р₁+р₂+...+р_n=1.

Законом розподілу випадкової величини називають всяке співвідношення, що задає зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.

Простішою формою задання закону розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х є таблиця, в якій записані можливі значення випадкової величини і відповідні ймовірності.

х_і – значення випадкової величини Х.

р_і – ймовірність, що випадкова величина прийме значення х_і.

хі х1 х2 ... хn рі р1 р2 ... рn  цю таблицю називають рядом розподілу ймовірностей випадкової величини.

Приклад: Х – оцінка на екзамені з математики.

хі	2	3	4	5
рі	0,1	0,3	0,4	0,2

Ряд розподілу ймовірностей випадкової величини.

Задача. Проводяться три незалежні досліди. В кожному досліді подія А з’являється з ймовірністю 0,4. Випадкова величина Х є число появ події А в трьох дослідах. Побудувати ряд розподілу випадкової величини Х.

Розв’язання. Випадкова величина Х може прийняти значення х₁=0; х₂=1; х₃=2; х₄=3. Обчислимо відповідні ймовірності за формулою Бернуллі: Р_m,n= .

P_0;3= ; P_1;3= ;

P_2;3= ; P_3,3= .

Ряд розподілу випадкової величини Х має вигляд

хі	0	1	2	3
рі	0,216	0,432	0,288	0,064

Задача. Проводиться ряд незалежних дослідів. В кожному досліді може з’явитися подія А з ймовірністю р. досліди проводяться до першої появи події А, після появи події А досліди припиняються. Випадкова величина Х – число проведених дослідів. Побудувати ряд розподілу випадкової величини Х.

Розв’язання. Випадкова величина Х може прийняти значення: 1, 2, ..., k, … . Буде проведений один дослід, якщо подія А відбудеться у першому досліді. Буде проведено два досліди, якщо подія А в першому досліді не відбудеться, а відбудеться в другому досліді і т. д. Ряд розподілу має вигляд:

хі	1	2	3	...	k	...
рі	р	Qp	q2р	...	qk-1p	...

де q=1-p