Функція розподілу випадкової величини

Найбільш загальною формою закону розподілу випадкової величини є так звана функція розподілу.

Функцією розподілу випадкової величини Х називається задання ймовірності того, що значення випадкової величини Х будуть менші ніж х:

F(x)=P(X<x)

Аргумент х – довільна точка на осі Ох.

х F(x) –ймовірність того,

0 x що значення

випадкової величини Х будуть знаходитися лівіше від точки х.

Властивості функції розподілу:

1. Ф ункція F(x) неспадна, тобто при х₂>x₁ F(x₂)F(x₁).

x

0 x₁ x₂

2. F(-)=0, тобто при х-, F(x)0.

3. F()=1, тобто ймовірність попадання випадкової величини на всю числову вісь дорівнює 1.

Графік функції розподілу F(x) дискретної випадкової величини має вигляд:

у

y

1

1

0 х 0 х

Східчаста лінія, якщо Х дискретна випадкова величина.

Лінія виду, якщо Х неперервна випадкова величина.

Для дискретної випадкової величини Х, яка приймає значення х₁, х₂, ..., х_n функція розподілу

F(x)=

Задача. Побудуйте графік функції розподілу F(x) випадкової величини Х, що задана рядом розподілу

хі	-1	0	1	2
рі	0,2	0,1	0,3	0,4

Розв’язання.

Якщо функція х-1, то F(x)=P(X<-1)=0, тому що лівіше точки х=-1 немає жодного значення випадкової величини Х.

Якщо х<0, то F(0)=P(X<0)=0,2, тому що лівіше за 0 є тільки одне значення випадкової величини х=-1, яке випадкова величина приймає з ймовірністю 0,2.

Аналогічно визначаємо, що:

F(1)=P(X<1)=p(x=0)+p(x=-1)=0,1+0,2=0,3;

F(2)=P(X<2)=p(x=0)+p(x=-1)+p(1)=0,1+0,2+0,3=0,6.

При всіх значеннях х>2

F(x)=P(X<x)=p(x=-1)+p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=0,2+0,1+0,3+0,4=1.

F(x)

1

0,6

0,3

0,2

x

-1 0 1 2 x

Задача. Побудуйте графік функції розподілу неперервної випадкової величини

F(x)=

F(x)

1

0,5

0 5 x

При розв’язуванні практичних задач часто оказується необхідним обчислити ймовірність того, що випадкова величина приймає значення з деякого інтервалу [, ). Ця подія називається „попадання випадкової величини в інтервал від  до ”.

Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (a, b] можна знайти знаючи функцію розподілу F(x)

P(ax<b)=F(b)-F(a)

x

a b

Задача. Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал від 2 до 3, якщо Х задана функцією розподілу F(x)=

Розв’язання.

P(2X<3)=F(3)-F(2)=

Щільність розподілу випадкової величини

Наочне уявлення про характер розподілу неперервної випадкової величини в околі різних точок дає функція, що називається щільністю розподілу ймовірностей.

Нехай маємо неперервну випадкову величину Х, що задана функцією розподілу F(х). Ймовірність попадання цієї величини на елементарний участок [x, x+ x) дорівнює F(x+ x)-F(x), тобто Р(хХ<x+ x)=F(x+ x)-F(x).

y

1

x

х

0 x x+ x

Відношення називається середньою ймовірністю, що приходиться на одиницю довжини цієї ділянки.

Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називають функцію

f(x)=F(x).

Можна записати:

f(x)=

Графік функції y=f(x) називають кривою розподілу.

y

f(x)

y=f(x)

x

0 x x+ x x

Величина f(x) x або f(x)dx дорівнює ймовірності попадання випадкової величини на відрізок х.

З геометричної точки зору це є площа прямокутника з основою х і висотою f(x). ймовірність влучення випадкової величини на проміжок (, ) запишеться так:

Р(aХ<b)= .

Г еометрично ця ймовірність виражається площею фігури, що обмежена кривою f(x), віссю Ох і прямими х=a; х=b.

Якщо a-, b=х, то y

Р(Х<x)= y=f(x)

З іншого боку Р(Х<x)=F(x).

Отже F(x)= .

0 x

Тобто функція розподілу виражається інтегралом зі змінною верхньою межею від функції щільності.

Г еометрично функція f(x)

розподілу виражається

заштрихованою площею.

0 x x