Сума і добуток подій

Сумою двох подій A і B називається така третя подія С, що полягає в появі хоча б однієї з подій A і B і позначається так:

C = A + B

Аналогічно визначається сума n подій:

С= А₁+ А₂+ ...+А_n

Приклад 3. Нехай А – виграш у лотерею в жовтні, В – виграш у лотерею у листопаді.

Тоді C = A + B є хоча б один виграш.

Добутком подій A і B називається така третя подія D, що полягає в появі обох подій А і B. Добуток позначається так:

D=A·B

Аналогічно визначається добуток n подій:

D = А₁+ А₂+ ...+А_n.

В прикладі (3) подія D=А·B означає два виграша (і в жовтні, і в листопаді).

Задача. По мішені виконуються три постріли. Позначимо події так:

А₁ – попадання при першому пострілі;

А₂ – попадання при другому пострілі;

А₃ – попадання при третьому пострілі;

В₁ – промах при першому пострілі;

В₂ – промах при другому пострілі;

В₃ – промах при третьому пострілі.

Виразити через дані події слідуючи: С– три попадання; D – три промахи; Е – одне попадання; F – два попадання.

Розв’язання. С=А₁А₂А₃; D=В₁В₂В₃;

Е= А₁В₂В₃+ В₁А₂ В₃+ В₁В₂А₃; F= А₁А₂B₃+ А₁B₂А₃+B₁A₂A₃.

Теорема додавання ймовірностей

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Теорема може бути доведена лише для схеми випадків (шансів). Для подій, що не можна звести до схеми випадків вона приймається як аксіома.

Доведення. Нехай дослід має n можливих випадків, які можуть трапитися. З них m випадків сприятливі події А і k випадків сприятливі події В. Оскільки події А і В несумісні, то події А+В будуть сприятливими m+k випадків.

Отже, Р(А+В)= Р(А)+Р(В).

Теорему доведено.

Методом математичної індукції можна довести, що для несумісних подій А₁, А₂, ..., А_n справедлива формула:

Р(А₁+А₂+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n).

Наслідок 1. Якщо події А₁, А₂, ..., А_n складають повну групу несумісних подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1.

Дійсно, оскільки події А₁, А₂, ..., А_n складають повну групу подій, то одна з них повинна відбутися, тобто подія А₁+А₂+ ...+А_n є достовірною, а ймовірність достовірної події дорівнює 1.

Р(А₁+А₂+...+А_n)=1.

Оскільки дані події несумісні, то

Р(А₁+А₂+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n).

Отже,

Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1.

Дві події, що складають повну групу подій називаються протилежними.

Подію, що є протилежною події А, позначимо .

Приклади протилежних подій:

1) А – попадання при пострілі;

– промах при пострілі.

2. В – на лекції присутні всі студенти.

– на лекції відсутній хоча б один студент.

Наслідок 1. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці.

Р(А)+Р( )=1.

З адача. Кругова мішень складається з трьох зон: І, ІІ, ІІІ. Ймовірність влучення в першу зону при одному пострілі дорівнює 0,15; в другу – 0,23; в третю – 0,17. Знайти ймовірність промаху (не попадання в мішень).

Розв’язання. Позначимо А₁ – попадання в І зону; А₂ – попадання в ІІ зону; А₃ – попадання в ІІІ зону. В – попадання в мішень. – не попадання в мішень.

Р(А₁)=0,15; Р(А₂)=0,23; Р(А₃)=0,17

В=А₁+А₂+А₃

Р(В)= Р(А₁+А₂+А₃)= Р(А₁)+ Р(А₂)+ Р(А₃)=0,15+0,23+0,17=0,55

Р( )=1-Р(В)=1-0,55=0,45.