Теорема додавання сумісних подій

Дві події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої в одному і тому досліді.

Теорема. Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Пояснімо зміст теореми геометричною інтерпретацією події.

Нехай подія А полягає в тому, що навмання кинута точка, попаде в область А; подія В – в область В. Тоді добуток подій А і В полягає в тому, що точка попаде в область АВ.

Сума подій А+В полягає в тому, що точка попаде або в область А, або в область В, або і в А, і в В, тобто в область АВ. Таким чином, область АВ зустрічається два рази: як частина області А і як частина області В. Віднімемо одну область АВ.

Тоді, Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Якщо події несумісні, то області А і В не перетинаються і

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Задача. Два студенти складають екзамен з теорії ймовірності. Ймовірність того, що Микола складе екзамен на „5” дорівнює 0,7. Ймовірність того, що Василь складе екзамен на „5” дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що хоча б один студент складе екзамен на „5”.

Розв’язання. І спосіб.

М – Микола складе екзамен на „5”; В – Василь складе екзамен на „5”; М+В – хоча б один студент склав екзамен на „5”. М, В – сумісні, незалежні.

Р(М+В)=Р(М)+Р(В)-Р(МВ)=Р(М)+Р(В)-Р(М)Р(В)=

=0,7+0,8-0,70,8=0,7+0,8-0,56=0,94

ІІ спосіб.

– Микола не склав екзамен на „5”: Р( )=0,3;

– Василь не склав екзамен на „5”: Р( )=0,2;

 – Микола і Василь не складуть екзамен на „5”.

Р( )=Р( )Р( )=0,30,2=0,06.

Ймовірність того, що хоча б один студент складе екзамен на „5”дорівнює 1-0,06=0,94.

Формула повної ймовірності

Треба визначити ймовірність події А, що може відбутися тільки разом з однією із подій Н₁Н₂...Н_n, які складають повну групу несумісних подій.

Події Н₁Н₂...Н_n називаються гіпотезами.

Відомі Р(Н₁), Р(Н₂), ..., Р(Н_n) – ймовірності гіпотез.

Відомі Р(А/Н₁), Р(А/Н₂), ..., Р(А/Н_n) – умовні ймовірності події А, при умові, що подія А відбулася разом Н₁, Н₂, ..., Н_n.

Доведемо, що

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)+...+Р(Н_n)P(A/H_n).

Доведення. Оскільки гіпотези Н₁, Н₂, ..., Н_n складають повну групу несумісних подій, то подія А може відбутися тільки з однією з подій Н₁, Н₂, ..., Н_n.

Подію А можна записати так: А=АН₁+АН₂+...+АН_n.

Події АН₁, АН₂, ..., АН_n несумісні, тому за теоремою додавання несумісних подій маємо:

Р(А)=Р(АН₁)+Р(А/Н₂)+...+Р(А/Н_n).

За теоремою множення ймовірностей отримаємо:

Р(А)=Р(H₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)+...+Р(Н_n)Р(А/Н_n).

Скорочено суму можна записати так:

	Р(А)= – ця формула називається формулою повної ймовірності.

Задача. Маємо три однакові на вигляд урни: в першій урні 2 білих і 1 чорна куля, в другій урні 3 білих і 1 чорна куля, в третій урні 2 білих і 2 чорних кульок. Дехто вибирає наугад урну і виймає одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля буде білою.

Розв’язання. Позначимо: А – поява білої кулі. Кулю можна було взяти або з першої урни, або з другої, або з третьої урни. За гіпотези слід взяти слідуючи події: Н₁ – вибір першої урни, Н₂ – вибір другої урни, Н₃ – вибір третьої урни.

За умовою задачі гіпотези рівноможливі, тому Р(Н₁)=Р(Н₂)=Р(Н₃)= (всього 3 урни, перша одна, друга одна, третя одна).

Умовна ймовірність того, що вийнята куля буде білою, при умові, що її взяли з першої урни Р(А/Н₁)= , з другої – Р(А/Н₂)= , з третьої – Р(Н₃)= .

Повна ймовірність того, що вийнята куля буде білою Р(А)=

Задача. Прилади одного виду виготовляються двома заводами; перший завод поставляє всіх виробів, що поступають у продаж; другий – . Надійність приладу, який виготовлений першим заводом дорівнює 0,8; другим – 0,9. Людина купила один прилад. Визначити повну надійність приладу.

Розв’язання. А – безвідмовна робота приладу. Гіпотези: Н₁ – прилад виготовлений першим заводом; Н₂ – прилад виготовлений другим заводом.

Р(Н₁)= ; Р(Н₂)= ; Р(А/Н₁)=0,8; Р(А/Н₂)=0,9;

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)= 0,8+ 0,9=0,833=83%.