Властивості дисперсії:

1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.

2. Дисперсія добутку сталої величини на випадкову величину дорівнює добутку квадрата сталої величини на дисперсію випадкової величини: D[CX]=C²D[X].

Дисперсія випадкової величини має розмірність квадрату випадкової величини. Для того, щоб мати характеристику розсіяння тієї ж розмірності, що і у випадкової величини вводять іншу характеристику розсіяння – середнє квадратичне відхилення σ_х, що дорівнює кореню квадратному з дисперсії. σ_х= .

Приклад. Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу

хі	-1	0	1
рі	0,4	0,2	0,4

М[X]

-1 0 1 х

Знайти М[X]; D[X]; σ_х.

М[X]= =(-1)·0,4+00,2+1·0,4=0

D[X]= =(-1-0)²·0,4+(0-0)²·0,2+(1-0)²·0,4=0,8

σ_х=

Приклад. Неперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу f(x)=

Знайти М[X]; D[X]; σ_х.

М[X]=

=

=

D[X]=

+ 0,272.

σ _х= 0,521. f(x)

m_x

0 1 x

Розподіл Пуассона

При розв’язуванні багатьох практичних задач приходиться мати справу з дискретними випадковими величинами, які підкоряються закону Пуассона. Типовим прикладом випадкової величини, що має розподіл Пуассона, є число викликів на телефонній станції за деякий час t, число викликів швидкої допомоги за деякий час t, середнє число літаків, що прибувають в аеропорт і т. д.

Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати тільки такі значення: 0, 1, 2, ... .

Випадкова величина Х має розподіл Пуассона, якщо ймовірність того, що вона прийме значення m виражається формулою: Р_m= (m=0, 1, 2, …)

де а – деяка стала величина, її називають параметром Пуассона.

Ряд розподілу випадкової величини Х має вигляд:

хі	0	1	2	...	m
рі	e-a	ae-a		…

Математичне сподівання і дисперсія цієї величини дорівнюють а.

Задача. При роботі електронної обчислювальної машини час від часу виникають збої. Потік збоїв можна зчитати простішим (стаціонарним, пуассоновським). Середнє число збоїв за добу дорівнює 1,5. Знайти ймовірності подій: А – за дві доби не буде жодного збою; В – за добу буде хоча б один збой; С – за тиждень буде не менше ніж три збої.

Розв’язання. Число збоїв за дві доби дорівнює 1,52=3.

Р(А)=Р₀= 0,05 (5%)

Щоб знайти ймовірність події В, треба спочатку знайти ймовірність протилежної події . Подія полягає в тому, що за добу не відбудеться жодного збою. Р( )=Р₀= ; Р(В)=1-Р( )=1-е^-1,5=0,777.

Середнє число збоїв за тиждень дорівнює 1,57=10,5.

Знайдемо ймовірність події С, яка полягає в тому, що за тиждень буде не менше ніж три збої. Спочатку знайдемо ймовірність події , яка полягає в тому, що за тиждень буде менше ніж три збої тобто або один, або два, або жодного збою.

Р( )=

+ =66,62·е^-10,5=0,002,

Р(С)=1-0,002=0,998.