2.3.6. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа

Важливим наслідком центральної граничної теореми є інтегральна теорема Муавра – Лапласа: якщо в кожному з n незалежних експериментів (випробувань) за схемою Бернуллі ймовірність появи деякої події А дорівнює P(A) = p і – число появ події А в і-му випробуванні, – сумарне число появ події А в n випробуваннях, для якого то для будь-якого х:

, (2.45)

де – інтегральна функція Лапласа.

Із даної теореми безпосередньо випливає відома нам з 1-го розділу асимптотична інтегральна формула Лапласа, яка, нагадаємо, виражає наближене значення ймовірності того, що число появ події А в п незалежних випробуваннях за схемою Бернуллі міститься між числами т₁ і т₂:

. (2.45)

Приклад 2.25. Відомо, що власників квартир мають заборгованість в оплаті кому­нальних послуг. Яка ймовірність того, що серед навмання вибраних власників квар­тир число осіб, які не мають заборгованості, виявиться в межах від до чоловік?

Розв’язання. Нехай подія A – власник квартири не має заборгованості в оплаті комунальних послуг. За умовою задачі m₁ = 400, m₂ = 500. Обчислимо:

За формулою (2.45) маємо:

тобто ймовірність того, що серед 700 навмання вибраних власників квартир від 400 до 500 чоловік не мають заборгованості в оплаті комунальних послуг, дорівнює 0,7939.

Рекомендована література: [1, с. 126–131; 2, с. 98–104; 5, с. 101–110, 135–137; 7, с. 279–290; 8, с. 198–220].

Завдання для самоконтролю

Основні поняття, означення та відношення

Замість крапок запишіть таке продовження (доповнення) тексту словами чи форму­лами, щоб отримати правильне означення або твердження.

1. Суть закону великих чисел полягає в тому, що за великого числа випадкових явищ усереднений їх результат можна трактувати як …

2. Нерівність Чебишова має вигляд … і виражає оцінку ймовірності того, що …

3. Нерівність Чебишова стає тривіальною, якщо …

4. Теорема Чебишова виражає той факт, що ймовірність події … є близькою до одиниці за умови, що …

5. Із теореми Чебишова випливає, що величина … є стійкою.

6. Теорема Бернуллі виражає той факт, що ймовірність події … є близькою до одиниці за умови, що …

7. Із теореми Бернуллі випливає, що величина … є стійкою.

8. Центральна гранична теорема стосується характеру закону розподілу величини …

9. Центральна гранична теорема стверджує, що випадкова величина … має близький до нормального закон розподілу за умов …

10. Формула Муавра – Лапласа має вигляд … і виражає ймовірність того, що …

Тести

Запишіть на бланку відповідей номер завдання і коди (порядкові номери або літери), що відповідають тим варіантам відповідей, які вважаєте правильними.

1. Випадкова величина Х розподілена рівномірно на проміжку [2, 6]. За допо­могою нерівності Чебишова оцінити ймовірність події .

Варіанти відповідей: 1. . 2. . 3. .

2. Середня місячна зарплата Х працівників підприємства підпорядкована нормальному закону розподілу з параметрами а = 500 грн і σ = 100 грн. За допомогою нерівності Чебишова оцінити ймовірність події

Варіанти відповідей: 1. 2. 3.

3. Імовірність вибрати правильну відповідь під час заповнення талона відповідей на одне тестове завдання (подія А) p = 0,9. Студент дає відповіді на 30 тестових завдань однакової важкості. За допомогою нерівності Чебишова в умовах теореми Бернуллі оцінити ймовірність відхилення не більше ніж на 0,2 частоти правильної відповіді від її ймовірності.

Варіанти відповідей: 1. 2. 3.

4. Імовірність банкрутства фірми (подія А) p = 0,2. Яке число n фірм потрібно відібрати, щоб імовірність відхилення не більше ніж на 0,1 відносної частоти від імовірності події А була не меншою за 0,95?

Варіанти відповідей: 1. 2. 3.

5. Кожна з 500 випадкових величин має рівномірний закон розподілу ймовірностей на проміжку [0; 0,1]. Написати закон розподілу для випадкової величини .

Варіанти відповідей: А. .

Б. .

В.

6. У регіоні 60% фірм займаються виробництвом харчової продукції. Яка ймовірність того, що серед вибраних 100 фірм займаються виробництвом харчової продукції від 50 до 70 фірм?

Варіанти відповідей: 1. 0,9624. 2. 0,9586. 3. 0,9431.