Приклади

1. Дискретну випадкову величину задано законом розподілу

Х	-4	-2	0	1	3	4
	0,05	0,2	0,2	0,3	0,1	0,15

Знайти: а) закон розподілу випадкової величини Y; б) функцію розподілу випадкової величини Y; в) числові характеристики випадкової величини Y, якщо:

1) ; 2) ; 3) .

2.* Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом розподілу з параметрами і відповідно. Знайти закон розподілу випадкової величини Y, якщо: 1) ; 2) .

3. Випадкова величина Х задана густиною розподілу

Знайти густину розподілу випадкової величини Y та її математичне сподівання, якщо: 1) ; 2) ; 3) .

4. Задано незалежні випадкові величини Х та Y

Х	-1	1	2		Y	-2	0	1
p	0,3	0,5	0,2		p	0,3	0,4	0,3

Знайти закон розподілу випадкової величини Z, функцію розподілу та її числові характеристики, якщо: 1) ; 2) .

5. Незалежні випадкові величини X і Y мають показниковий розподіл з параметрами відповідно. Для випадкової величини знайти: а) густину розподілу; б) функцію розподілу; в) математичне сподівання.

6*. Cистема випадкових величин задана щільністю розподілу:

Для випадкової величини знайти: а) густину розподілу; б) функцію розподілу; в) математичне сподівання.

7*. Кожна з незалежних випадкових величин Х та Y розподілена рівномірно на проміжках та . Знайти густину розподілу випадкової величини Z, якщо .

Відповіді

1. 1а)	Y	0	1	4	9	16	2) а)	Y	0	2	6	8
	pi	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2		pi	0,45	0,3	0,1	0,15

3 а)	Y	2/3	1/2	1/3	2/7	2	-2
	pi	0,2	0,3	0,1	0,15	0,2	0,05

1 в) 5,2; 35,76; 5,98; 2 в) 2,4; 8,64; 2,94; 3 в) 0,66; 0,752; 0,867.

2. 1) ; 2) . 3. 1) 2) 3)

4. 1)	Z	-3	-1	0	1	2	3	3
	pi	0,09	0,27	0,15	0,2	0,23	0,06	0,06

;

2)	Z	-2	-1	0	1	2	3	4
	pi	0,09	0,12	0,15	0,35	0,08	0,15	0,06

.

5. а) б) в) 0,7.

Основні поняття і терміни

Випадкова величина – величина, яка в результаті експерименту (випробування) набуває одного з можливих значень із певною ймовірністю.

Дискретна випадкова величина – випадкова величина, множина можли­вих значень якої є скінченна або зліченна.

Закон розподілу дискретної випадкової величини – відповідність між її можливими значеннями та їх імовірностями.

Математичне сподівання дискретної випадкової величини – сума добутків усіх її можливих значень на їх імовірності.

Відхилення дискретної випадкової величини від її математичного сподівання – різниця між цією величиною та її математичним сподіванням.

Дисперсія дискретної випадкової величини – математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання.

Неперервна випадкова величина – випадкова величина, можливі значення якої заповняють деякий інтервал, або випадкова величина, функція розподілу якої неперервна і кусково диференційовна.

Функція розподілу F(х) випадкової величини (дискретної або неперервної) – імовірність того, що випадкова величина набуде значення, меншого за число х.

Густина (щільність) розподілу неперервної випадкової величини – перша похідна від функції розподілу цієї величини.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини – інтеграл по числовій осі від добутку змінної, якою позначено можливі значення цієї величини, на густину її розподілу.

Відхилення неперервної випадкової величини від її математичного сподівання – різниця між цією величиною та її математичним сподіванням.

Дисперсія неперервної випадкової величини – математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання.

Початковий момент s-го порядку випадкової величини (дискретної або неперервної) – математичне сподівання степеня s цієї величини.

Центральний момент s-го порядку випадкової величини (дискретної або неперервної) – математичне сподівання степеня s відхилення цієї величини від її математичного сподівання.

Асиметрія випадкової величини (дискретної або неперервної) – відно­шення центрального моменту 3-го порядку до куба середнього квадра­тичного відхилення цієї величини.

Ексцес випадкової величини (дискретної або неперервної) – відношення центрального моменту 4-го порядку до четвертого степеня середнього квадратичного відхилення цієї величини, зменшене на число три.

n-вимірна випадкова величина – упорядкована сукупність одновимірних випадкових величин, які задані на одному і тому ж просторі елементарних подій.

Закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини – перелік її можливих значень та їх імовірностей.

Функція розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) – імовірність сумісної появи подій і .

Густина розподілу ймовірностей двовимірної неперервної випадкової величини – друга мішана похідна від функції розподілу.

Математичне сподівання складової двовимірної дискретної випадкової величини – сума добутків усіх можливих значень відповідної складової на їх імовірності.

Відхилення складової двовимірної випадкової величини від її матема­тичного сподівання – різниця між цією складовою та її математичним сподіванням.

Дисперсія складової двовимірної дискретної випадкової величини – сума добутків квадратів відхилень значень цієї складової від її математичного сподівання на відповідні їм імовірності.

Математичне сподівання складової двовимірної неперервної випадкової величини – інтеграл від добутку змінної, якою позначені можливі значення відповідної складової, на густину її розподілу.

Дисперсія складової двовимірної неперервної випадкової величини – інтеграл від добутку змінної, якою позначенні значення квадрата відхилення цієї складової від її математичного сподівання на густину її розподілу.

Середнє квадратичне відхилення складової двовимірної випадкової величини – квадратний корінь із дисперсії відповідної складової.

Коваріація (кореляційний момент) двовимірної випадкової величини – математичне сподівання добутку відхилень складових цієї величини від їх математичних сподівань.

Коефіцієнт кореляції двовимірної випадкової величини – відношення коваріації цієї величини до добутку середніх квадратичних відхилень складових цих величин.

Корельовані випадкові величини – дві випадкові величини, коефіцієнт кореляції яких не дорівнює нулю.

Некорельовані випадкові величини – дві випадкові величини, коефіцієнт кореляції яких дорівнює нулю.

Умовна ймовірність складової двовимірної дискретної випадкової величини – імовірність можливих значень однієї складової, обчислена за умови, що друга величина набуває певного можливого значення.

Умовний закон розподілу складової двовимірної дискретної випадкової величини – перелік усіх можливих значень відповідної складової та їх умовних імовірностей.

Умовне математичне сподівання складової дискретної двовимірної випадкової величини – сума добутків можливих значень відповідної складової на їх умовні ймовірності.

Умовна дисперсія складової двовимірної дискретної випадкової величини – сума добутків квадратів відхилень значень цієї складової від її умовного математичного сподівання на відповідні їм умовні ймовірності.

Густина розподілу складової двовимірної неперервної випадкової величини – інтеграл від двовимірної густини розподілу за змінною, якою позначені значення другої складової.

Умовна густина складової двовимірної неперервної випадкової величини – відношення двовимірної густини розподілу цієї величини до густини розподілу іншої складової.

Умовне математичне сподівання складової двовимірної неперервної випадкової величини – інтеграл від добутку змінної, якою позначені можливі значення відповідної складової, на її умовну густину.

Умовна дисперсія складової двовимірної неперервної випадкової величини – інтеграл від добутку змінної, якою позначенні квадрати відхилення значень цієї складової від її умовного математичного сподівання на умовну густину розподілу даної складової.

Стохастична залежність між випадковими величинами – аналітична залежність умовного розподілу однієї з них від значень, яких набуває друга величина.

Функція одного випадкового аргументу – відповідність між можливими значеннями двох одновимірних випадкових величин.

Закон розподілу значень функції одного дискретного аргументу – перелік можливих значень функції та їх імовірностей.

Функція двох випадкових аргументів – відповідність між парами мож­ливих значень двовимірної випадкової величини і можливими значеннями одновимірної випадкової величини.

Закон розподілу значень функції двох дискретних випадкових аргументів – перелік можливих значень функції та їх імовірностей.

Розділ 3

ЕЛЕМЕНТИ

МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Унаслідок вивчення цього розділу студенти повинні набути практичних навичок та вмінь із таких основних питань математичної статистики:

• побудова емпіричного ряду розподілу випадкової величини та обчислення її емпіричних характеристик;

• побудова емпіричної функції розподілу випадкової величини;

• обчислення точкових оцінок параметрів розподілу випадкової величини і побудова наближених законів розподілу її ймовірностей;

• обчислення інтервальних оцінок параметрів розподілу;

• перевірка статистичних гіпотез про закон розподілу і параметри розподілу випадкової величини;

• оцінка статистичної залежності між двома випадковими величинами;

• застосування вибіркової сукупності значень випадкової величини (ознаки генеральної сукупності) для вивчення її властивостей та аналізу економічних ситуацій.