Розділ 2

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

У цьому розділі розглядаються основні поняття і методи, які пов’язані з випадковими величинами. Тут викладено:

• поняття дискретної випадкової величини та основні закони її роз­поділу;

• чисельні характеристики дискретної випадкової величини;

• поняття неперервної випадкової величини та основні закони її розподілу;

• чисельні характеристики неперервної випадкової величини та їх вираження через густину розподілу;

• імовірність попадання значень неперервної випадкової величини в заданий проміжок і формули для її обчислення для різних законів розподілу;

• поняття про системи двох дискретних і неперервних випадкових величин та їх закони розподілу;

• умовні закони розподілу складових системи двох випадкових величин (дискретних і неперервних).

Охарактеризуємо тезисно основні поняття і зміст другого розділу.

У першому розділі йшлося про події та ймовірності подій. Тут розвинено ці поняття, застосовуючи їх до кількісних ознак, пов’язаних зі стохастичними експериментами. Оскільки результат експерименту може змінюватися від випадку до випадку, то розглядувана в ньому кількісна ознака, загалом кажучи, є змінною величиною, до того ж випадковою. Отже, випадкова величина – це величина, яка в результаті експерименту з випадковим результатом набуває того або іншого чисельного значення. Прикладами випадкових величин, що набувають різних чисельних значень під впливом багатьох випадкових факторів, можуть бути:

а) число очок, яке випаде на верхній грані за одне кидання грального кубика;

б) число бракованих виробів серед n навмання вибраних;

в) число кидань монети до першої появи герба;

г) число викликів, які надходять на телефонну станцію протягом деякого проміжку часу;

д) тривалість часу обслуговування покупця;

е) час виконання деякого завдання і т. д.

Випадкові величини позначатимемо великими літерами Х, Y, Z, …, а їх можливі значення – малими літерами x, y, z, … латинського алфавіту.

У наведених прикладах траплялися два типи випадкових величин: дискретні величини, множини можливих значень яких скінченні або злі­ченні, – приклади а) – г), і неперервні величини, множини можливих значень яких суцільно заповнюють деякий інтервал, – приклади д), е).

Зазначимо, що, за теоретико-множинним трактуванням основних понять теорії ймовірностей, випадкова величина Х є функція елементарної події: , де  – елементарна подія, яка належить простору . При цьому множина можливих значень випадкової величини Х складається з усіх значень, яких набуває функція . Якщо ця множина скінченна або зліченна, то випадкова величина Х називається дискретною, якщо незліченна – неперервною.

Наведемо приклади дискретної і неперервної випадкових величин.

1. Симетричну монету кидають двічі. Нехай випадкова величина Х – кількість появ герба. Простір елементарних подій складається з чотирьох елементів:

.

Таблиця значень випадкової величини Х має таку форму:

Х( )	0	1	1	2

2. Нехай випадкова величина Y є час очікування трамвая на зупинці. Якщо розклад руху трамваїв невідомий, але відомо, що проміжок часу між прибуттям трамваїв не перевищує Т, то значення Y належить відрізку [0, Т].

Для того, щоб описати випадкову величину, необхідно вказати не тільки множину її можливих значень (чого було б достатньо в разі дослідження звичайної змінної величини), а й охарактеризувати ймовірності всіх мож- ливих подій, пов’язаних із випадковою величиною (наприклад, імовірність того, що вона набуде того чи іншого значення або потрапить у деякий інтервал). Такий повний опис випадкової величини називається її законом розподілу.

Зауваження. У випадку довільного ймовірнісного простору ℱ, P) не будь-які функції, визначені на , можна розглядати як випадкові величини. Вивчаючи закони розподілу випадкових величин, часто доводиться відповідати на питання: яка ймовірність того, що значення випадкової величини Х() належать до тієї чи іншої множини? Отже, для достатньо широкого класу множин {B} на числовій прямій повинна бути впевненість, що множина {: X()B} належить полю ℱ випад­кових подій, і тому можна розглядати ймовірність P{: X()B}. Виявляється, достатньо припустити, що для кожного інтервалу множина {: X() } = {: X() < х} належить полю ℱ випад­кових подій, і тоді для кожної множини дійсних чисел В, яка зобра­жається як об’єднання або перетин скінченного або зліченного числа проміжків, отримаємо {: X() B}  ℱ.

Означення. Нехай ℱ, P) – імовірнісний простір. Кожна дійсна функція X = X(), яка визначена на  і така, що для кожного дійсного числа х виконується співвідношення:

{: X()< х}  ℱ,

називається випадковою величиною.

Умова, що входить в означення випадкової величини, називається вимірністю X = X() відносно поля подій ℱ.

Означення. Функція дійсної змінної х, х  R = , визначена рівністю

F(x) = Р{: X() < х} = Р{X < х},

називається функцією розподілу випадкової величини Х = Х().

Властивості функції розподілу описано в підрозділі 2.2. Тут зазначимо лише, що функція розподілу є найбільш загальною формою закону розпо­ділу, придатною для характеристики всіх випадкових величин (як дискретн­их, так і неперервних). Знаючи функцію розподілу F(х) випадкової величини Х, можна обчислити ймовірності будь-яких подій, які з нею пов’язані.

Іноді поведінку випадкової величини характеризують не функцією розподілу, а яким-небудь іншим способом, наприклад, густиною розподілу . Кожну таку характеристику також називають законом розподілу випадкової величини, якщо за її допомогою за певними правилами можна отримати функцію розподілу.

Дуже часто в імовірнісних моделях доводиться розглядати відразу кілька випадкових величин. Наприклад, число очок, які випадуть за одночасного кидання двох гральних кубиків, є можливими значеннями системи двох випадкових величин Х і Y, де Х – число очок, яке випаде під час кидання 1-го кубика, Y – число очок, яке випаде під час кидання 2-го кубика. У математичній моделі в таких випадках на ймовірнісному просторі (, ℱ, P) визначені кілька випадкових величин , які іноді зручно розглядати як координати випадкової точки або випадкового вектора Х = ( ) із n-вимірного простору . При цьому випадкові величи­ни можуть бути як дискретними, так і неперервними. Закон роз­поділу випадкового вектора, або, те ж саме, n-вимірної випадкової величини ( ) у загальному випадку визначається функцією розподілу (або «сумісною» функцією розподілу) системи n випадкових величин ( ).

Означення. Функцією розподілу n-вимірної випадкової величини ( ) називається ймовірність сумісного виконання n нерівностей:

тобто

.

Подія, яка записана у фігурних дужках, означає добуток подій :

.

Важливе поняття теорії ймовірностей – незалежність подій – є суттєвим і для випадкових величин. Згідно з означенням незалежності подій ми скажемо, що дві випадкові величини Х і Y називаються незалежними, якщо незалежні всі пов’язані з ними події: наприклад, {X < x} та {Y < y}; {X = } та {Y = } і т. д.

У термінах законів розподілу незалежність випадкових величин можна визначити так: дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, якого значення набуде інша. Аналогічно, n випадкових величин називаються незалежними, якщо сумісні закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, яких можливих значень набули інші величини.

Поняття незалежності випадкових величин можна виразити в термінах функцій розподілу.

Означення. Випадкові величини називаються незалеж­ними, якщо для будь-яких дійсних чисел правильна рівність

або

де – функція розподілу величини , k = 1, 2, …, n.

Якщо остання рівність не виконується, то це означає, що випадкові величини – залежні.

Із наведеного означення випливає, що коли випадкові величини, які утворюють систему, незалежні, то функція розподілу системи цих величин повністю визначається за допомогою функцій розподілу окремих величин, які входять у цю систему.

2.1. Дискретна (одновимірна) випадкова величина

Дискретні випадкові величини використовуються для опису та аналізу випадкових явищ і процесів у природознавстві, економіці і т. д.

Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо мно­жина її можливих значень є скінченною або зліченною.

2.1.1. Закон розподілу ймовірностей

Нехай – дискретна випадкова величина, мож­ливими і єдино можливими значеннями якої є числа Через позначимо ймовірності значень величини Х, тобто є ймовірність того, що величина X набуває значення .

Події утворюють повну групу попарно несумісних подій і тому

Означення. Законом розподілу ймовірностей (законом розподілу) дискретної випадкової величини називається відповідність між усіма її можливими значеннями та їх імовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини записують таблично, аналітично або графічно.

Табличний запис закону розподілу (таблиця значень випадкової вели­чини та відповідних їм імовірностей ) такий (табл. 2.1):

Таблиця 2.1

xi	x1	x2		xп
p1	р1	р2		рп

За допомогою табл. 2.1 можна визначити ймовірність

для будь-якої числової множини В. Зокрема, функція розподілу F(x) випад­кової величини Х визначається рівністю:

,

у якій підсумовування проводиться за всіма індексами і, для яких .

За аналітичного запису закону розподілу дискретної випадкової величини потрібно знати формулу – аналітичний вираз залежності між значеннями випадкової величини та їх імовірностями .

Для графічного зображення закону розподілу дискретної випадкової величини на прямокутну систему координат наносять точки і з’єднують їх відрізками. Одержану фігуру називають імовірнісним много­кутником розподілу.

У випадку, коли множина різних значень випадкової величини Х є нескінченною і зліченною, то її закон розподілу також можна записати у формі таблиці (див. табл. 2.1), яка складатиметься з двох нескінченних рядків: і , до того ж

Приклад 2.1. У грошовій лотереї розігрується 2 виграші по 1 000 грн, 10 виграшів по 100 грн і 100 виграшів по 10 грн за загальної кількості білетів 10 000. Написати закон розподілу випадкової величини X – виграшу власника одного лотерейного білета.

Розв’язання. У цій задачі можливими значеннями дискретної випадкової вели- чини X є числа . Відповідні їм імовірності обчислюємо за формулою:

,

де – число виграшних білетів на відповідну суму гривень, n – число всіх білетів лотереї.

Одержимо:

Закон розподілу описаної в задачі випадкової величини має форму таблиці:

Х = xi	1000	100	10	0
p = pі	0,0002	0,001	0,01	0,9888