- •Опд.Ф.12 экономико-математические методы и моделирование
- •Специальность: 120301 Землеустройство
- •Оглавление
- •Введение
- •1 Геометрическая интерпретация и графический метод решения злп
- •1.1 Цель
- •1.2 Задачи
- •1.3 Алгоритм решения
- •1.4 Пример решения задачи
- •Построение матрицы модели
- •1.5 Задачи
- •1.5.1 Составить экономико-математическую модель и решить графическим методом
- •У гражданина имеется в наличии 4 тыс. Чел/час трудовых ресурсов, 1000 кг. Д.В. Удобрений.
- •1.5.2 Решить задачи графическим методом
- •2.4 Пример решения задачи
- •2.5 Задачи
- •2.5.1 Составить экономико-математическую модель и решить симплекс-методом.
- •5.2. Решить задачу симплекс-методом
- •3 Освоение ппп simplex – пакет линейной оптимизации
- •3.1 Цель
- •3.2 Задачи
- •3.3 Основное меню комплекса «Simplex»
- •3.4 Рассмотрение простейшего примера решения задач в «Simplex»
- •3.4.1 Экономико-математическая модель:
- •Ограничения:
- •Целевая функция (мах чистого дохода, руб.)
- •3.4.2 Ввод исходной информации
- •3.4.3 Решение задачи
- •3.4.4 Анализ результатов решения
- •4 Компьютерная реализация задач линейного программирования стандартными офисными средствами (в среде пакета Excel)
- •4.1 Цель
- •4.2 Задачи
- •4.3 Образец решения задачи
- •4.3.2 Построим матрицу модели
- •3 Решим задачу в Excel
- •4.3.3 Последовательность решения задачи
- •4.3.3 Запуск на решение задачи
- •4.4 Создание отчета по результатам поиска решения
- •5 Задачи распределительного типа, решаемые в землеустройстве
- •5.1 Цель
- •5.2 Задачи
- •5.3 Алгоритм решения
- •5.4 Пример решения задачи
- •5.5 Задачи
- •5.1 Составить экономико-математическую модель и решить методом потенциалов
- •6 Освоение ппп per – пакета экономических расчетов. Решение транспортной задачи
- •6.1 Цель
- •6.2 Задачи
- •6.3 Описание пакета экономических расчетов «per»
- •6.4 Рассмотрение примера решения задач в «per»
- •6.4.1 Составим экономико-математическую модель
- •6.4.2 Решение задачи на per
5 Задачи распределительного типа, решаемые в землеустройстве
ВВЕДЕНИЕ
Распределительные задачи связаны с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Задачи этого класса возникают тогда, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой работы наиболее эффективным образом. Поэтому целью решения задачи, является отыскания такого распределения ресурсов по работам, при котором либо минимизируются общие затраты, связанные с выполнением работ, либо максимизируется получаемый в результате общий доход.
5.1 Цель
Усвоить алгоритм решения задач распределительного типа методом потенциалов.
5.2 Задачи
Приобрести навыки составления простейших математических моделей, решить их методом потенциалов, провести анализ решения.
5.3 Алгоритм решения
1. Составить экономико-математическую модель задачи.
2. Проверить задачу на сбалансированность и, при необходимости, привести к сбалансированному виду.
3. Получить опорное решение заданным способом: метод северо-западного угла, метод наименьшего (наибольшего) члена, метод аппроксимации, метод предпочтений (процесс решения отразить в таблице).
4. Решить задачу методом потенциалов (процесс решения отразить в таблицах). Метод потенциалов состоит из последовательности итераций и шагов.
ШАГ 1. Выписываю исходное базисное решение. Проверяем план на вырожденность. Если план вырожденный, то вводим в одну из пустых клеток поместить нулевую подставку и считать эту клетку занятой, при этом данная клетка не должна приводить к замкнутому контуру и занятых клеток
ШАГ 2. Проверяю план на оптимальность. Если план не оптимален, то переходим к шагу 3, если план оптимален, то переходим к 5 этапу.
ШАГ 3. Выполняю процесс улучшения плана.
Шаг 4. Строю новый план перевозок.
5. Записать решение формализовано поставленной задачи, и дать его интерпретацию с учетом дополнительных условий (при их наличии) и исходной несбалансированности задачи (если она была), после чего записать окончательное решение задачи.
5.4 Пример решения задачи
В пунктах А1, А2 и А3 находятся соответственно 90, 120 и 150 т сырья. Пунктам В1, В2, В3 и В4 требуется соответственно 60, 90, 120 и 90 т сырья. Транспортные издержки перевозки из пункта А1 в пункты В1, В2, В3 и В4 равны 2, 4, 6, 8 у.е., соответственно из пункта А2 – 8, 6, 4, 0 у.е., А3 – 0, 4, 4, 2 у.е. Составьте план перевозок, минимизирующий общую сумму расходов.
Решение.
1. Составить экономико-математическую модель:
Переменные:
Х11 – количество перевозимого сырья из пункта А1 в пункт В1.
Х12 – количество перевозимого сырья из пункта А1 в пункт В2.
Х13 – количество перевозимого сырья из пункта А1 в пункт В3.
Х14 – количество перевозимого сырья из пункта А1 в пункт В4.
Х21 – количество перевозимого сырья из пункта А2 в пункт В1.
Х22 – количество перевозимого сырья из пункта А2 в пункт В2.
Х23 – количество перевозимого сырья из пункта А2 в пункт В3.
Х24 – количество перевозимого сырья из пункта А2 в пункт В4.
Х31 – количество перевозимого сырья из пункта А3 в пункт В1.
Х32 – количество перевозимого сырья из пункта А3 в пункт В2.
Х33 – количество перевозимого сырья из пункта А3 в пункт В3.
Х34 – количество перевозимого сырья из пункта А3 в пункт В4.
Ограничения:
По запасам сырья, т:
В пункте А1:
Х11+ Х12+ Х13+ Х14 = 90.
В пункте А2:
Х21+ Х22+ Х23+ Х24 = 120.
В пункте А3:
Х31+ Х32+ Х33+ Х34 = 150.
По потребностям, т:
Пункта В1:
Х11+ Х21+ Х31=60.
Пункта В2:
Х12+ Х22+ Х32=90.
Пункта В3:
Х13+ Х23+ Х33=120.
Пункта В4:
Х14+ Х24+ Х34=90.
Условие неотрицательности переменных: Хij ≥ 0, i=1..3, j=1..4.
Целевая функция – минимальная сумма расходов:
Z = 2Х11+ 4Х12+ 6Х13+ 8Х14+ 8Х21+ 6Х22+ 4Х23+ 0Х24+ 0Х31+4Х32+4Х33+ 2Х34→min.
Таблица 5.1. Исходные данные
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Запасы |
А1 |
2 |
4 |
6 |
8 |
90 |
А2 |
8 |
6 |
4 |
0 |
120 |
А3 |
0 |
4 |
4 |
2 |
150 |
Потребность |
60 |
90 |
120 |
90 |
360 |
2. Проверить задачу на сбалансированность и, при необходимости, привести к сбалансированному виду.
Проверим задачу на сбалансированность по следующей формуле:
∑Аi =∑Вj.
Так как 90+120+150 = 60+90+120+90, то данная задача закрытого типа.
3. Получить опорное решение. Начальный план составим наиболее простым способом – методом северо – западного угла. Согласно этому правилу загружаем первую клетку (I;j)=(1;1) на основании следующего условия:
Х11 = min {a1;b1} = min {90;60}= 60
Таким образом, первый пункт назначения загружен, а первый пункт отправления имеет остатки груза ∆а1 = 90-60=30, которые и распределяем на второй пункт назначения:
Х12 = min {a1;b2} = min {30;60}= 30; ∆ b2 = 60.
Продолжая преобразования аналогичным образом, получаем следующую таблицу.
Таблица 5.2 Начальный план перевозок.
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Запасы |
А1 |
2 60 |
4 30 |
6 |
8 |
90 |
А2 |
8
|
6 60 |
4 60 |
0 |
120 |
А3 |
0 Х |
4 |
4 60 |
2 90 |
150 |
Потребность |
60 |
90 |
120 |
90 |
360 |
Итерация 1.
Шаг 1.
Значение целевой функции равно:
Z = 60*2 + 4*30 + 60*6 + 60*4 +60*4 +2*90 = 1260 у.е.
Проверим план на вырожденность по следующей формуле:
N=m+n-1. В нашем примере m=3, n=4, а число загруженных клеток 6, т.е. 6=6. Таким образом, план невырожден.
ШАГ 2. Проверяю план на оптимальность.
Проверяю методом потенциалов при которой каждый i-строки (I поставщик) устанавливается потенциал Ui, который можно интерпретировать как цену продукта пункта поставщика, а к каждому столбцу j-го потребителя устанавливается потенциал Vj , который можно интерпретировать как цену продукта у потребителя. Простейший случай: цена пункта потребителя равна цене продукта поставщика + расходы перевозок.
Vj = Ui + Cij
Потенциал первой строки равен 0.
Таблица 5.3 Транспортная схема 1
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Запасы |
Ui |
А1 |
- 2 6 0 |
+ 4 3 0 |
6 |
8 |
90 |
0 |
А2 |
8
|
- 6 60 |
+ 4 6 0 |
0 |
120 |
-2 |
А3 |
+ 0 Х |
4 |
- 4 60 |
2 90 |
150 |
-2 |
Потребность |
60 |
90 |
120 |
90 |
360 |
|
Vj |
2 |
4 |
2 |
0 |
|
|
Затем определяю при оптимальности распределения через их оценки dij = ( Ui + Cij )- Vj. Условием оптимальности распределения служит условие не отрицательности оценок свободных клеток матрицы перевозок.
0 0 4 8
dij = 4 0 0 -2
--4 -2 0 0
План требует улучшения.
ШАГ 3. Выполняю процесс улучшения плана.
Клетку (3;1) нужно загрузить за счет перераспределения ресурсов из других загруженных клеток. В таблице 3 эту клетку помечаем знаком Х, так как здесь в начальном плане находится вершина максимальной неоптимальности. Маршрут представлен в таблице 3.3.
Шаг 4. Строю новый план перевозок.
Таблица 5.4 Транспортная схема 2
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Запасы |
Ui |
А1 |
2 0 |
4 90 |
6 |
8 |
90 |
0 |
А2 |
8
|
6
|
- 4 1 20 |
+ 0 Х |
120 |
-2 |
А3 |
0 60 |
4 |
+ 4 0 |
- 2 90 |
150 |
-2 |
Потребность |
60 |
90 |
120 |
90 |
360 |
|
Vj |
2 |
4 |
2 |
0 |
|
|
Итерация 2
Шаг 1. Z = 0*2 + 4*90 + 120*6 + 0*4 +60*0 +2*90 = 1020 у.е.
Проверим условие N=m+n-1. Число загруженных клеток равен 4, а N=6, то условие не выполняется. В двух клетках нужно проставить нули и считать их условно загруженными.
ШАГ 2. Проверяю план на оптимальность.
Расчет потенциалов представлен в таблице 4.
Нахожу матрицу оценок.
0 0 4 8
dij = 4 0 0 -2
0 -2 0 0
План требует улучшения.
ШАГ 3. Выполняю процесс улучшения плана.
Клетку (2;4) или (3;2) нужно загрузить за счет перераспределения ресурсов из других загруженных клеток. Клетка (3;2) «плохая». Маршрут представлен в таблице 3.4.
Шаг 4. Строю новый план перевозок.
Таблица 5.4. Оптимальный план перевозок.
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Запасы |
Ui |
А1 |
2 0 |
4 90 |
6 |
8 |
90 |
0 |
А2 |
8
|
6
|
4 30 |
0 90 |
120 |
2 |
А3 |
0 60 |
4 |
4 90 |
2
|
150 |
2 |
Потребность |
60 |
90 |
120 |
90 |
360 |
|
Vj |
2 |
4 |
6 |
2 |
|
|
Итерация 3.
Шаг 1. Z = 0*2 + 4*90 + 30*4 + 90*0 +60*0 +4*90 = 840 у.е.
Проверим условие N=m+n-1. План невырожденный.
Шаг 2. Проверяю план на оптимальность. Расчет потенциалов представлен в таблице 3.4.
Нахожу матрицу оценок.
0 0 0 6
dij = 8 6 0 0
0 2 0 2
Матрица оценок состоит из неотрицательных клеток, следовательно, план оптимален.
Ответ: Транспортные издержки по оптимальному плану равны 840 у.е. Если их А1 в В2 перевезти 90 ц., из А2 в В3 30 ц., в В4 90 ц.; из А3 в В1 60 ц., в В3 90 ц. сырья.