- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
Матрицею розмірності m n називають прямокутну таблицю чисел, яка складається з m рядків і п стовпчиків. Числа, які утворюють матрицю називають елементами матриці. Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту, а їх елементи відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,
.
Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакову розмірність і їх відповідні елементи рівні. .
Матриця, яка складається з одного рядка (одного стовпчика) називається вектор-рядком (вектор-стовпчиком). Як правило замість або відповідно пишуть та .
Квадратною матрицею п-го порядку називається матриця, яка складається з п рядків і п стовпчиків. Наприклад, — квадратна матриця 2-го порядку. Квадратна матриця, всі елементи якої дорівнюють нулеві, називається
нуль-матрицею.
Елементи квадратної матриці п-го порядку називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Матриця, всі елементи якої окрім діагональних дорівнюють нулеві, називається діагональною. Діагональну матрицю, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають буквою Е.
Добутком матриці на число називатимемо матрицю , кожен елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці А, помноженому на скаляр . Наприклад, якщо , то . Матрицю –А=–1А називають протилежною до матриці А.
Сумою матриць і однакової розмірності називають матрицю , кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В. Наприклад, якщо , а , то .
Добутком матриці розмірності т п на матрицю розмірності п р називають матрицю розмірності т р, кожен елемент якої є сумою добутків елементів відповідного рядка матриці А на відповідний стовпчик матриці В. Наприклад, якщо , а , то .
Зауважимо, що добуток матриць є некомутативною операцією. Так в останньому прикладі добуток FD не існує, оскільки кількість стовпчиків матриці F не дорівнює кількості рядків матриці D. Але навіть якщо обидва добутки
існують, вони, як правило, не рівні між собою. Наприклад, , але .
Справджуються такі властивості:
1) 2) 3) 7) 8) 9) |
4) 5) 6) 10) 11) 12) |
Матриця називається транспонованою до матриці . Очевидно, що коли розмірність матриці А дорівнює тп, то розмірність транспонованої матриці — пт. Наприклад, якщо , то .
Справджуються такі властивості операції транспонування:
1) 2) |
3) 4) |
Визначник матриці. Обернена матриця
Для квадратних матриць вводиться поняття визначника (або детермінанта) матриці.
Визначником матриці першого порядку будемо називати елемент цієї матриці: .
Визначником матриці другого порядку будемо називати число . Наприклад,
Визначником матриці третього порядку будемо називати число
Наприклад, .
Визначникам матриць притаманні такі властивості:
Визначник одиничної матриці дорівнює одиниці
.
Якщо який–небудь рядок (стовпчик) матриці складається з одних нулів, то визначник матриці дорівнює нулеві.
.
Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці помножити на деяке число, то і визначник матриці помножиться на це число.
Визначник матриці, рядок (стовпчик) якої є сумою двох рядків(стовпчиків) дорівнює сумі відповідних визначників.
При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.
.
При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) матриці її визначник змінює знак на протилежний.
Визначник матриці, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.
Якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці додати інший, помножений на деяке число, то визначник матриці не зміниться.
Мінором елемента матриці А будемо називати визначник матриці, утвореної викреслюванням у матриці А рядка і стовпчика, де стоїть цей елемент.
Алгебричним доповненням елемента матриці А будемо називати число .
Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпчика) матриці на їх алгебричні доповнення.
.
Остання властивість дозволяє обчислювати визначники квадратних матриць будь-якого порядку, зведенням до обчислення визначників на одиницю меншого порядку. Наприклад,
.
Рангом матриці будемо називати найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Наприклад, ранг матриці дорівнює 2, бо мінор третього порядку , а мінор другого порядку .
Квадратна матриця називається оберненою до матриці , якщо
.
Матриця називається невиродженою, якщо . Кожна невироджена матриця має обернену. Обернена матриця обчислюється за формулою
.
Тут — алгебричне доповнення елемента матриці .
Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці .
Розв’язання: . Знаходимо алгебричні доповнення елементів матриці . Тоді, .