Критерій Смирнова

Критерій Смирнова дозволяє на підставі двох серій незалежних спостережень та перевірити гіпотезу про те, що результати спостережень в обох серіях отримані з випробувань над величинами з однаковою функцією розподілу (порівняти два емпіричні розподіли). Статистичні гіпотези формулюються так:

задані емпіричні розподіли збігаються;

задані емпіричні розподіли істотно відрізняються.

Для перевірки гіпотез використовують статистику Смирнова

,

де і — емпіричні функції розподілу першої і другої серій спостережень відповідно.

Розподіл статистики Смирнова не залежить від виду функції розподілу і є протабульованим для малих т і п. Критична область визначається нерівністю

,

де — квантиль розподілу статистики Смирнова, що відповідає рівню значущості . Для досить великих т і п критичне значення знаходимо із співвідношення .

Приклад 24.¹ Тест Мюнстерберга (в адаптивному варіанті Дворяшиної М.Д.) вимірювання вибірковості перцептивної уваги пропонувався студентам факультету психології Ленінградського університету (156 чол.) та акторам балету Маріїнського театру (85 чол.). Методика полягає в тому, що серед розміщених у довільному порядку букв на бланку досліджуваний повинен якнайшвидше знайти і підкреслити 24 слова різного рівня складності. Емпіричні розподіли кількості пропущених слів наведено в таблиці.

	Кількість пропущених слів
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Студенти	93	27	11	15	5	3	2	0	0	0
Актори	22	20	16	4	3	11	3	3	2	1

Чи можна стверджувати, що ці розподіли однакові?

Розв’язання: Формулюємо статистичні гіпотези.

Н₀: Емпіричні розподіли кількості пропущених слів у тесті статистично не відрізняються між собою.

Н₁: Емпіричні розподіли кількості пропущених слів у тесті істотно відмінні.

Для їх перевірки знайдемо відносні частоти емпіричних розподілів, нагромаджені відносні частоти та їх різниці.

Пропущено слів	Відносні частоти		Нагромаджені відносні частоти		Різниці
	Студенти	Актори	Студенти	Актори
0	0,596	0,259	0,596	0,259	0,337
1	0,173	0,235	0,769	0,494	0,275
2	0,071	0,188	0,840	0,682	0,157
3	0,096	0,047	0,936	0,729	0,206
4	0,032	0,035	0,968	0,765	0,203
5	0,019	0,129	0,987	0,894	0,093
6	0,013	0,035	1,000	0,929	0,071
7	0,000	0,035	1,000	0,965	0,035
8	0,000	0,024	1,000	0,988	0,012
9	0,000	0,012	1,000	1,000	0,000

Максимальне відхилення нагромаджених відносних частот (кумулянт) дорівнює 0,337. Отже, статистика Смирнова . Відповідні критичні зна­чення: та . Як бачимо, емпіричне значення статистики потрапляє в критичну область. Отже, приймаємо альтернативну гіпотезу, яка стверджує, що розподіли кількості пропущених слів у студентів університету і акторів істотно відмінні.

У пакеті STATISTICA 6.0 перевірка гіпотези про узгодженість розподілу з даним теоретичним розподілом реалізується модулем Distribution Fitting. Дані спостережень заносимо в одну змінну. Із пропонованого модулем списку вибираємо вид теоретичного розподілу. Параметри розподілу визначаються модулем автоматично. Результати перевірки відповідних гіпотез для прикладів 21 і 23 можна побачити на рис. 17. Висновок про прийняття чи відхилення нульової гіпотези у кожному з цих випадків робимо за величиною рівня значущості р емпіричного значення відповідного критерію (приймаємо нульову гіпотезу, якщо і відхиляємо її та приймаємо альтернативну гіпотезу, якщо ).