Перетворення координат з однієї зони в іншу з урахуванням повороту осей.
При перетворенні координат великої кількості пунктів з однієї зони в іншу з точністю порядку 0,15 ÷ 0,20 м зазвичай застосовують спосіб перетворення збільшень координат за формулами:
(9.5)
де
і
– збільшення координат в первісній
зоні;
і
–
перетворені збільшення координат в
заданій зоні;
– кут
повороту осей двох зон;
– коефіцієнт
масштабування;
– відстань
між пунктами у вихідній зоні;
– відстань
між пунктами в заданій зоні.
Для перетворення координат за наведеними формулами необхідно мати не менше чотирьох пунктів, координати яких відомі в двох зонах. Для цього можуть бути використані координати пунктів триангуляції або кутів рамок трапеції.
Так як кут повороту осей на різних відстанях від осьового меридіана за абсолютною величиною не однаковий, то переобчислювані пункти слід згрупувати за трапеціям масштабу 1:25000 і для кожної такої групи пунктів необхідно обчислити кут повороту осей і коефіцієнт масштабування. У межах однієї трапеції масштабу 1:25000 коливання кута повороту невеликі.
Приклад. Дано координати пунктів у 7-й шестиградусній зоні від осьового меридіана 39 ˚. Потрібно перевичислити їх в 12-у триградусну зону від осьового меридіана 36 ˚.
Порядок обчислень:
Нанести за координатами на топографічну карту або чистий аркуш паперу всі задані точки.
Визначити геодезичні координати кутів рамки трапеції масштабу 1:25000, в межах якої розташовані пункти, координати яких необхідно перетворити. Скласти схему, на якій пронумерувати кути і виписати геодезичні координати кутів рамки.
Від довгот рамок трапецій відняти значення осьового меридіана 7-ої шестиградусної зони і отримати в градусній мірі відстані кутів рамок трапеції від осьового меридіана 39 ˚
L – L0 = 37˚00´00″– 39˚00´00″ = – 2˚00´00″
L – L0 = 37˚07´30″– 39˚00´00″ = – 1˚52´30″.
За шириною і величиною знайти з таблиць прямокутні координати кутів трапеції в системі координат вихідної зони. Знак різниці (L– L 0) визначає знак ординати у.
Від довгот рамок трапецій відняти значення осьового меридіана 12-ої триградусної зони і отримати в градусній мірі відстані кутів рамок трапеції від осьового меридіана 36 ˚
L – L0 = 37˚00´00″– 36˚00´00″ = + 1˚00´00″
L – L0 = 37˚07´30″– 36˚00´00″ = + 1˚07´30″.
За широтою і величиною знайти з таблиць прямокутні координати кутів трапеції в системі координат 12-ої триградусної зони з довготою середнього меридіана 36 ˚.
Отримані дані виписати на схему або окрему таблицю:
Таблиця 8.
№ кутів |
Геодезичні координати |
Прямокутні координати |
||
широта В |
довгота L |
х |
у |
|
|
|
L0 =39˚ |
|
|
1 |
48˚00´00″ |
-2˚00´00″ |
5320457,4 |
-149250,1 |
2 |
48˚00´00″ |
-1˚52´30″ |
5320222,9 |
-139922,3 |
3 |
47˚55´00″ |
-1˚52´30″ |
5310957,5 |
-140147,6 |
4 |
47˚55´00″ |
-2˚00´00″ |
5311192,0 |
-149490,4 |
|
|
L0 =36˚ |
|
|
1 |
48˚00´00″ |
+1˚00´00″ |
5319005,5 |
+74626,2 |
2 |
48˚00´00″ |
+1˚07´30″ |
5319133,8 |
+83954,4 |
3 |
47˚55´00″ |
+1˚07´30″ |
5309868,0 |
+84089,5 |
4 |
47˚55´00″ |
+1˚00´00″ |
5309739,4 |
+74746,3 |
Обчислити дирекційні кути та довжини діагоналей трапеції.
Таблиця 9.
-
Позначення
L0 =39˚
L0 =36˚
1 – 3
2 – 4
1 – 3
2 – 4
Δу
+9102,5
– 9568,1
+9463,3
–9208,1
Δх
– 9499,9
– 9030,9
–9137,5
–9394,4
tg α
0,958168
1,059485
1,035655
0,980169
α
136˚13´25,7″
226˚39´16,0″
133˚59´47,6″
224˚25´34,4″
S в м
13156,9
13157,0
13154,8
13154,6
Sконтр
13156,9
13157,0
13154,8
13154,6
Обчислити кут повороту осей. Кут повороту осей дорівнює різниці дирекційних кутів однойменних ліній:
(9.1)
де 
– дирекційний кут в первісній зоні;
– дирекційний
кут в заданій зоні.
1. = 136˚13´25,7″ 2. = 226˚39´16,0″ = 133˚59´47,6″ = 224˚25´34,4″
+2˚13´38,1″
+2˚13´41,6″
+2˚13´39,8″
Обчислити коефіцієнт масштабування. Коефіцієнт масштабування дорівнює відношенню довжин однойменних ліній у двох зонах:
1.
2.
– відстань між пунктами у вихідній зоні;
– відстань між пунктами у заданій зоні.
Для обчислення координат складають таблицю, зразок якої в додатку № 1.
У графу 1 виписують номера (або назви) пунктів, що підлягають перевичисленню. У першому і останньому рядках записують будь-які кути трапеції, координати яких брали участь при обчисленні кута повороту осей Θ і коефіцієнта масштабування К. Якщо для обчислення величин Θ і К були прийняті координати пунктів, то замість координат кутів трапеції виписують два з цих пункта.
У графи 2 і 3 записують координати пунктів (виписаних в графу 1) у первісній зоні.
До граф 12 і 13 відразу слід записати координати вихідних точок у заданій зоні (тобто в зоні, яку переобчислюють).
Потім зверху таблиці записують значення кута повороту осей Θ, коефіцієнт форматування К, sin Θ, cos Θ і К · sin Θ і К · cos Θ.
При позитивному куті повороту осей (+ Θ) sin Θ і cos Θ мають знак плюс. При негативному куті повороту (- Θ) sin Θ має знак мінус, cos Θ - знак плюс.
У графу 4 записують збільшення координат Δх, обчислені по координатах, записаним в графі 2. При обчисленні збільшень координат слід пам'ятати, що обчислення виконують у строгому порядку: завжди з абсциси подальшого пункту. У цьому ж порядку обчислюють прирости Δу і записують у графу 5.
Контролем цих обчислень служать суми приростів координат ΣΔх і ΣΔу, які повинні бути рівні різницям координат вихідних точок, записаних на початку і кінці ходу.
У графу 6 записують добуток ΔХ·(К·cosΘ),
У графу 7 - ΔУ · (К · sin Θ);
У графу 8 пишуть перетворені значення збільшень ΔХ ', рівні сумі величин, обчислених в графах 6 і 7:
ΔХ′ = ΔХ·(К·cosΘ) + ΔУ·(К·sin Θ).
У графу 9 записують добуток ΔУ · (К · cosΘ);
У графу 10 -добуток ΔХ · (К · sin Θ) з протилежним знаком, тому що у формулі перед цією величиною стоїть знак мінус.
У графу 11 пишуть перетворені значення збільшень ΔУ':
ΔУ′ = ΔУ· (К·cosΘ) +{–ΔХ· (К·sin Θ)}.
Далі підраховують суми приростів ΣΔх' і ΣΔу' (графи 8 і 11) і результати записують внизу.
Теоретично ΣΔх' і ΣΔу' повинні бути рівні різницям координат початкової та кінцевої точок в новій зоні. Однак внаслідок помилок у величинах Θ і К суми приростів будуть відрізнятися від теоретичних (тобто від різниці координат) на величину порядку ± 0,2 м (в окремих випадках ± 0,3).
Отримані нев'язки слід розподілити пропорційно приростам Δх' і Δу'.
Перетворені координати обчислюють шляхом алгебраїчного підсумовування координат попередніх пунктів з відповідними перетвореними приростами (аналогічно обчисленню координат точок теодолітного ходу).
Після закінчення обчислень перетворених координат для контролю беруть будь-який пункт в середині ходу і його координати перетворять звичайним шляхом за таблицями. Якщо величина розбіжності не перевищує ± 0,15 ÷ 0,20 м, то завдання перетворення координат всіх пунктів слід вважати виконаним.
У доданому прикладі для контролю перетворення за таблицями координати пункту «СКВ.43». В результаті були отримані наступні координати:
Х = 5413607,91
У= + 78048,77
Після обчислень за формулами координати цього пункту отримали значення:
Х=5314607,94
У=+ 78048,78
Таким чином, розбіжності становлять: у значенні абсциси 0,03 м; ординати 0,01 м.