Лабораторна робота № 6 Обчислення плоских прямокутних координат Гауса-Крюгера по геодезичним координатам точок. Плоскі прямокутні координати Гауса-Крюгера

Поверхня земного еліпсоїда не може бути зображена на площині без розривів або без спотворень. У геодезії найбільш вигідною вважається рівнокутна (конформна) проекція, в якій забезпечується відсутність спотворень кутів і збереження подібності нескінченно малих фігур. При цьому масштаб зображення по осях Х і У (m_x і m_y) збільшується при видаленні точок від осі абсцис, але в кожній точці проекції не залежить від напрямку і становить:

(6.1)

де Y – видалення точки від осьового меридіана; R – середній радіус кривизни еліпсоїда в даній точці.

В системі плоских прямокутних координат Гауса-Крюгера поверхню еліпсоїда розбита меридіанами на координатні зони шириною по 6⁰ по довготі. Кожна з цих зон зображується на площині незалежно від інших, утворюючи самостійну систему координат. Осями координат служать зображення осьового меридіана зони та екватора.

Крайнім західним меридіаном першої зони є Гринвіцький меридіан. Довгота осьового меридіана координатних зон обчислюється за формулою:

(6.2)

де N – номер координатної зони (рахунок зон ведеться від Гринвіцького меридіана на схід), визначається за формулою: N = ОКРУГЛВВЕРХ(L/6°)

6° – ширина координатної зони (у градусах);

L – геодезична довгота точки (в градусах).

ОКРУГЛВВЕРХ – означає, що номер зони необхідно округляти в більшу сторону до найближчого цілого значення незалежно від величини дробової частини. Наприклад, точка з довготою 18°00′17″ розташована в координатній зоні

з довготою осьового меридіана

Координатні зони збігаються з колонами аркушів карт масштабу 1:000000, а номер зони (N) на 30 менше номера відповідної колони аркушів карт.

Для однозначного визначення положення точки та отримання лише позитивних значень ординат вісь абсцис переносять на 500 км на захід від осьового меридіана і перед ординатою записують № координатної зони. Отже, ордината визначається за формулою:

У = N_зони ×1000000м + 500000м (6.3)

де N_зони – номер координатної зони; у – видалення точки від осьового меридіана. Наприклад, точка розташована в координатній зоні № 7 на видаленні 11 500 м від осьового меридіана на захід (у = -11500 м), тоді:

у = 7000000 м + 500000 м – 11500 м = 7488500 м.

Обчислення плоских прямокутних координат Гауса-Крюгера по геодезичним координатам точок

При відомих значеннях геодезичних координат точок на поверхні земного еліпсоїда (B, L) плоскі прямокутні координати Гауса-Крюгера (х, у) обчислюються за формулами:

(6.4)

де Х – довжина дуги меридіана від екватора до точки з широтою В

N – радіус кривизни першого вертікала в точці з широтою В;

різниця між довготою даної точки і довготою осьового меридіана координатної зони.

Завдання 6.1 Визначити плоскі прямокутні координати Гауса-Крюгера вершин знімальної трапеції по їх геодезичним координатам:

В₁ = 31° 00', L₁ = 66° 00',

В₂ = 31° 20', L₂ = 66° 30'.

Рішення:

• Обчислити довжину дуги меридіана від екватора до точок з геодезичними широтами B₁, і B₂ за формулою:

де: Для розглянутого прикладу маємо:

3431035,2629; 3467993,3550

• Контроль обчислень зробити за формулами:

,

де:

• Обчислити плоскі прямокутні координати Гауса-Крюгера вершин знімальної трапеції за формулами:

де:

Для розглянутого прикладу маємо: Таблиця 4

Позначення	Вершини трапеції
	ПдЗ	ПнЗ	ПнС	ПдС
В	31° 00'	31° 20'	31° 20'	31° 00'
L	66° 00'	66° 00'	66° 30'	66° 30'
№ зони	12	12	12	12
L0	69°	69°	69°	69°
l = L - L0 ,рад	-0,052359878	-0,052359878	-0,043633231	-0,043633231
sin B	0,5150380749	0,5200161279	0,5200161279	0,5150380749
cos B	0,8571673007	0,8541564416	0,8541564416	0,8571673007
N	6383914,919	6384025,203	6384025,203	6383914,919
ХoB	3431035,275	3467993,367	3467993,367	3431035,275
t = tg B	0,6008606190	0,6088066572	0,6088066572	0,6008606190
η2	0,0049510357	0,0049163151	0,0049163151	0,0049510357
Х	3434901,622	3471883,411	3470694,143	3433719,593
y	-286579,527	-285576,477	-237965,032	-238800,507
Y	12213420,473	12214423,523	12262034,968	12261199,493

• Контроль обчислення координат вершин знімальної трапеції зробити за формулами:

(6.4)

де:

(6.5)

Для розглянутого прикладу маємо:

Таблиця 5

Позначення	Вершини трапеції
	ПдЗ	ПнЗ	ПнС	ПдС
B	31° 00'	31° 20'	31° 20'	31° 00'
L	66° 00'	66° 00'	66° 30'	66° 30'
№ зони	12	12	12	12
L0	69	69	69	69
l, рад.	-0,052359878	-0,052359878	-0,043633231	-0,043633231
ХoB	3431035,275	3467993,367	3467993,367	3431035,275
N	6383914,919	6384025,203	6384025,203	6383914,919
η2	0,004951036	0,004916315	0,004916315	0,004951036
t	0,600860619	0,608806657	0,608806657	0,600860619
n	0,001678979	0,001678979	0,001678979	0,001678979
α	6367558,497	6367558,497	6367558,497	6367558,497
β	-0,002518466	-0,002518466	-0,002518466	-0,002518466
γ	2,64278E-06	2,64278E-06	2,64278E-06	2,64278E-06
δ	-3,44788E-09	-3,44788E-09	-3,44788E-09	-3,44788E-09
ε	4,88902E-12	4,88902E-12	4,88902E-12	4,88902E-12
B, рад.	0,541052068	0,546869832	0,546869832	0,541052068
X	3434901,622	3471883,411	3470694,143	3433719,593
y	-286579,5267	-285576,4773	-237965,032	-238800,5068
Y	12213420,473	12214423,523	12262034,968	12261199,493

• При обчисленні на ЕОМ плоских прямокутних координат Гауса-Крюгера по геодезичним координатам точок на поверхні референц-еліпсоїда Красовського використовують формули:

(6.6)

де допоміжні коефіцієнти обчислюються за формулами:

Для розглянутого прикладу маємо: Таблиця 5

Позначення	ПдЗ	ПнЗ	ПнС	ПдС
L	66° 00' 00"	66° 00' 00"	66° 30' 00"	66° 30' 00"
№ зони	12	12	12	12
L0	69	69	69	69
l, град.	-3° 00' 00"	-3° 00' 00"	-2° 30' 00"	-2° 30' 00"
l, рад.	-0,052359878	-0,052359878	-0,043633231	-0,043633231
B	31° 00' 00"	31° 19' 60"	31° 19' 60"	31° 00' 00"
sinB	0,5150381	0,5200161	0,5200161	0,5150381
cosB	0,8571673	0,8541564	0,8541564	0,8571673
cos2B	0,7347358	0,7295832	0,7295832	0,7347358
N	6383914,919	6384025,203	6384025,203	6383914,919
a0	32041,35333	32042,0453	32042,0453	32041,35333
a3	0,078851439	0,077125448	0,077125448	0,078851439
a4	0,143384334	0,142077182	0,142077182	0,143384334
a5	-0,006354049	-0,007013116	-0,007013116	-0,006354049
a6	0,027895081	0,027075429	0,027075429	0,027895081
X	3434901,622	3471883,411	3470694,144	3433719,593
y	-286579,527	-285576,477	-237965,032	-238800,507
Y	12213420,473	12214423,523	12262034,968	12261199,493