Лабораторна робота № 13.
Рішення сферичних трикутників.
Рішення малих сферичних і сфероїдичних трикутників
Трикутники тріангуляції є сфероїдичними або еліпсоїдальними трикутниками, оскільки вони утворені на поверхні еліпсоїда. Так як на практиці доводиться мати справу з трикутниками сторони яких не перевищують 40÷50 км і в окремих випадках сягають 70÷80 км, внаслідок близькості земного еліпсоїда сфери відмінності в елементах сферичних і сфероїдичних трикутників тріангуляції нехтують. Такі трикутники вирішують, користуючись теоремою Лежандра або способом аддідаментів.
Рішення сферичних трикутників за теоремою Лежандра.
Якщо сторони плоского і сферичного трикутників відповідно рівні, то кути плоского трикутника рівні кутам сферичного трикутника, зменшеним на одну третину сферичного надлишку.
Сума кутів сферичного трикутника рівна:
(А+В+С) = 180º + ε
де ε – сферичний надлишок трикутника
R – середній радіус кривизни сферичного трикутника
Кути плоского трикутника визначають за формулами:
Кути А1, В1, С1 називають наведеними сферичними кутами. Якщо сторони сферичного трикутника менше 90км., то при обчислені сферичного надлишку відмінність між сферичними кутами і їх наведеними значеннями можна знехтувати.
Завдання
13.1 У сферичного
трикутника
АВС:
А
= 61° 42' 07,59",
В = 59° 52' 27,47", С = 58° 25' 28,88", ДА-В = 37629,31м., середня широта Вm = 31° 10' 00". Визначити ДВ-С и ДС-А.
Рішення:
О
бчислити
сферичний надлишок за формулами:
В нашому прикладі:
R = 6368279,708 м.; РΔАВС = 632867780,3 м2; ε" = 3,219".
Обчислити нев’язку сферичного трикутника за формулою:
В
нашому прикладі:
Обчислити виправлені кути сферичного трикутника за формулами:
В нашому прикладі:
Для контролю обчислень знайти суму виправлених кутів:
В нашому прикладі:
Обчислити наведені сферичні кути за формулами:
В нашому прикладі:
Для контролю обчислень знайти суму наведених кутів:
Обчислити довжини сторін ДВ-С та ДС-А за формулами:
В нашому прикладі:
Рішення сферичних трикутників за трьома сторонами.
При вирішені сферичних трикутників за трьома сторонами із застосуванням теореми Лежандра трикутники спочатку вирішити як плоскі, приймаючи сторони трикутників прямолінійними, а до обчислених таким чином кутів трикутників додати поправки рівні ε/3. Формули для обчислення мають вигляд:
- на
півпериметр трикутника
АВС
-
площа
трикутника
АВС
Кути сферичного трикутника визначаються за формулами:
Формула для обчислення сферичного надлишку:
де: R – середній радіус кривизни в області розташування трикутника,
прийнятого за сферичний
Завдання 13.2 У сферичного трикутника АВС: ДА-В = 37629,31м.
ДВ-С = 38889,988 м., ДС-А =38202,345 м. , середня широта Вm = 31° 10' 00".
Визначити: ⁄А, ⁄В , ⁄С.
Рішення:
Обчислити на півпериметр сферичного трикутника:
В нашому прикладі:
р =57360,8215
Обчислити площу сферичного трикутника:
В нашому прикладі:
Р = 632865749,145м2.
Обчислити кути плоского трикутника:
В нашому прикладі: А1 = 61° 42' 06,28"; В1 = 59° 52' 26,16";
С1 = 58° 25' 27,57".
Обчислити сферичний надлишок:
В нашому прикладі:
Rm = 6368279,708; ε" = 3,218799007" ≈ 3,219"
Обчислити кути сферичного трикутника:
В нашому прикладі:
А = 61° 42' 06,28"+ 3,219" : 3 = 61° 42' 07,35"
В = 59° 52' 26,16"+ 3,219" : 3 = 59° 52' 27,23"
С = 58° 25' 27,57"+ 3,219" : 3 = 58° 25' 28,64"